Blog Mania de Matemática

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Se $\left ( 2,\, 3 \right )$ é o ponto da reta $r$ mais próximo de $\left ( 0,\, 0 \right )$, então a equação de r é A) $5\cdot x + y −13 = 0$. B) $8\cdot x − y −13 = 0$. C) $11\cdot x − 3\cdot y −13 = 0$. D) $2\cdot x + 3\cdot y −13 = 0$. Solução: (D) Se o ponto $P= \left ( 2,\, 3 \right )$ da reta $r$ está mais próximo de $O= \left ( 0,\, 0 \right )$ então $r$ é perpendicular a reta suporte do segmento $\overline{OP}$. A Figura 1 apresenta uma análise do enunciado. Figura 1: Construção baseado nos dados do enunciado. Sabemos que o produto do coeficiente angular de retas perpendiculares é $-1$, então:$m_{r}$ c $m_{r}\cdot m_{\overline{OP}}=-1$ Calculando $m_{\overline{OP}}$: $m_{\overline{OP}}=\frac{y_{P}-y_

Questão 13 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Considere a representação, no plano de Argand-Gauss, do seguinte subconjunto do conjunto dos números complexos: $\left \{ z\in \mathbb{C};\left | z \right |< 1 \right \}$. Podemos afirmar que A) esse subconjunto é representado pela região exterior a um círculo, com centro na origem e raio igual a 1. B) esse subconjunto é representado pela região interior a um círculo, com centro na origem e raio igual a 1. C) esse subconjunto é representado por um círculo, com centro na origem e raio igual a 1. D) esse subconjunto é representado por uma circunferência, com centro na origem e raio igual a 1. Solução: (B) Seja $z=a+bi$ um número complexo onde $a,b\in \mathbb{R}$ e $i$ é a unidade imaginária. O módulo de $z$ é dado por $\left | z \righ

Questão 12 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Se o sólido sombreado abaixo representa o tronco de um cone, então o seu volume é, em $cm^{3}$, igual a A) $18 \pi$. B) $16 \pi$. C) $32 \pi$. D) $28 \pi$. Solução: (D) O sólido sombreado é um tronco de cone. Para resolver esta questão temos que calcular o volume do cone inteiro e subtrair o volume do cone menor (em branco na imagem). Quando um plano corta um cone reto passando pelo vértice $V$ e pelo centro da base $O$, a face cortada apresenta a forma de um triângulo isósceles (vide Figura 1). Figura 1: Triângulo Isóscele obtido quando um plano corta um cone reto passando pelo vértice $V$ e pelo centro da base $O$. Analisando um corte realizado no cone reto do enunciado obtemos a Figura 2. Figura 2: Análise d

Questão 11 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos No triângulo retângulo $ABC$ da figura abaixo, a mediana $\overline{AM}$, relativa à hipotenusa, forma com a altura $\overline{AH}$ um ângulo de $20^{\circ}$. Os ângulos $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ medem, respectivamente: A) $25^{\circ}$ e $75^{\circ}$. B) $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$. C) $35^{\circ}$ e $25^{\circ}$. D) $20^{\circ}$ e $70^{\circ}$. Solução: (C) Nesta resolução devemos lembrar que: (i) a mediana do triângulo retângulo, quando parte do ângulo reto, divide a hipotenusa em dois seguimentos congruentes a mediana, logo $\overline{CM}\equiv \overline{BM}\equiv \overline{AM}$; (ii) a altura $\overline{AH}$ é perpendicular ao seguimento $\overline{BC}$; (iii) a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\cir

Questão 10 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

agosto 30, 2016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Na figura abaixo, o quadrado de lado 1 cm está inscrito numa circunferência. Nessas condições, é CORRETO afirmar que o perímetro da região sombreada é, em cm, igual a A) $\frac{\pi\: \sqrt{2}}{4}+1$. B) $\frac{\pi}{2}+1$. C) $\frac{\pi\: \sqrt{2}}{2}+1$. D) $\frac{\pi}{4}+1$. Solução: (A) O perímetro, $P$, que devemos calcular é a soma do lado do quadrado com a quarta parte da circunferência em que o quadrado está inscrito. Observe que o diâmetro da circunferência tem a mesma medida da diagonal $d$ do quadrado. A diagonal do quadrado é igual a hipotenusa de um triângulo cujo catetos apresentam a medida do lado do quadrado ( vide Figura 1). Figura 1: Indicações da diagonal e do raio na imagem do enunciado. $d=\sq

Questão 09 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

agosto 30, 2016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Todas as afirmações abaixo são verdadeiras, EXCETO A) $sen\: 30^{\circ}< cos\: 120^{\circ}$. B) $cos\: 120^{\circ}< sen\: 150^{\circ}$. C) $cos\: 180^{\circ}< sen\: 330^{\circ}$. D) $sen\: 240^{\circ}< cos\: 300^{\circ}$. Solução: (A) Relembrando: Arco $30^{\circ}$ $45^{\circ}$ $60^{\circ}$ sen $\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cos $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{1}{2}$ tan $\frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$ Analisando cada alternativa: A) $sen\: 30^{\circ}< cos\: 120^{\circ}$: Incorreta. $sen\: 30^{\circ}< \left [cos\: \left (60^{\circ}+60^{\circ} \rig

Questão 08 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

agosto 30, 2016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Numa progressão geométrica de razão negativa, o primeiro termo é igual ao triplo da razão, e a soma dos dois primeiros termos é $\frac{9}{4}$. Nessa progressão, a razão vale A) $-\frac{2}{3}$. B) $-\frac{1}{2}$. C) $-\frac{5}{2}$. D) $-\frac{3}{2}$. Solução: (D) Seja $r$ a razão desta progressão geométrica, sendo $a_{1}=3\cdot r$ então $a_{2}=a_{1}\cdot r=\left ( 3\cdot r \right )\cdot r=3\cdot r^{2}$ Realizando a soma de $a_{1}$ e $a_{2}$: $a_{1}+a_{2}$. $3\cdot r+3\cdot r^{2}=\frac{9}{4}$ $r=\frac{-3\pm \sqrt{3^{2}-4\cdot 3\cdot \left (-\frac{9}{4} \right )}}{2\cdot 3}=\frac{-3\pm \sqrt{9+27}}{6}=\frac{-3\pm \sqrt{36}}{6}=\frac{-3\pm 6}{6}=\frac{-1\pm 2}{2}$ $r=\frac{-1\pm 2}{2}\rightarrow \left\{\begin{matrix} r_{1}=\fr

Questão 07 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Considere $$ com $a>1$ e $f: \left ] 0,\, +\infty \right [\, \rightarrow \mathbb{R}$ uma função definida por $f\left ( x \right )=a^{x}$. Dados os pontos $A\left ( -2,\, 0 \right )$, $B\left ( 2,\, 0 \right )$, $C\left ( 2,\, f\left ( 2 \right ) \right )$, $D\left ( 0,\, f\left ( 0 \right ) \right )$ e $E\left ( -2,\, f\left ( -2 \right ) \right )$, é CORRETO afirmar que a área do polígono ABCDE vale A) $a^{2}+a^{-2}+2$. B) $a^{2}+a^{-2}+1$. C) $\frac{a^{2}+a^{-2}+2}{2}$. D) $\frac{a^{2}+a^{-2}+1}{2}$. Solução: (A) Segundo a Geometria Analítica podemos obter que a área do poligono ABCDE de dividindo este poligono e somando suas áreas, conforme aa relação: $\acute{A}rea_{ABCDE}=\acute{A}rea_{ADE}+\acute{A}rea_{ABD}+\acute{A}rea_{BC

Questão 06 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Considere $f: \left ] 0,\, +\infty \right [\, \rightarrow \mathbb{R}$ uma função definida por $f\left ( x \right )=log\: x$, e $b$ um número real maior do que 1. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a área do retângulo de vértices $\left ( b,\: f\left ( b \right ) \right )$, $\left ( 2b,\: f\left ( b \right ) \right )$, $\left ( 2b,\: f\left ( 2b \right ) \right )$ e $\left ( b,\: f\left ( 2b \right ) \right )$ vale A) $b\: log\: x$. B) $log\: 2$. C) $b\: log\: 2$. D) $log\: b$. Solução: (C) Segundo a Geometria Analítica temos que a área do quadrilátero é dado na relação: $\acute{A}rea_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix} x_{A} & y_{A} & 1\\ x_{B} & y_{B} & 1\\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{vmatrix}+

Questão 05 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Considere a circunferência de centro O e raio 2, e o triângulo ABC de altura $x$. Nessas condições, a área da região sombreada é a menor possível quando $x$ for igual a A)$1$. B)$\frac{1}{2}$. C)$\frac{1}{4}$. D)$2$. Solução: (D) Observe que a área da região sobreada é obtida subtraindo a área do triângulo ABC da meia-circunferencia de raio 2. Desta forma quanto maior a área do triângulo, menor a área sombreada. A área do triângulo ABC é obtido pela fórmula: $A_{\Delta ABC}=\frac{base\cdot altura}{2}$ A medida da base $\overline{AB}=2\cdot raio=4$ e a medida da altura é $x$, conforme o enunciado: $A_{\Delta ABC}=\frac{\overline{AB}\cdot x}{2}=\frac{4\cdot x}{2}=2\cdot x$ Desta forma podemos observar que a área d

Questão 04 - Concurso Professor de Matemática - E.F. / EJA - Pref. de Francisco Dumont / MG - 2.016

Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática Ano: 2016 Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG Instituição: COTEC / UNIMONTES Fonte: PCI Concursos Considere $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ e $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ duas funções definidas por $f\left ( x \right )=a_{1}\cdot x+b_{1}$ e $ g\left ( x \right )=a_{2}\cdot x $, nas quais $a_{1}$, $a_{2}$ e $b_{1}$ são números reais tais que $a_{1} < a_{2}$. Nessas condições,$f\left ( x \right )\geqslant g\left ( x \right )$ quando A)$x> \frac{-b_{1}}{a_{1}-a_{2}}$ B)$x\leq \frac{b_{1}}{a_{2}-a_{1}}$ C)$x\leq \frac{-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}$ D)$x> \frac{-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}$ Solução: (B) Iniciando em $f\left ( x \right )\geqslant g\left ( x \right )$, obtemos: $a_{1}\cdot x+b_{1}\geq a_{2}\cdot x $ $a_{1}\cdot x-a_{2}\cdot x\geq -b_{1}$ $\left (a_{1}-a_{2} \right )\cdot x\geq - b_{1}$ Se $a_{1} < a