Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos
Considere $f: \left ] 0,\, +\infty \right [\, \rightarrow \mathbb{R}$ uma função definida por $f\left ( x \right )=log\: x$, e $b$ um número real maior do que 1. Com base nessas informações, é CORRETO afirmar que a área do retângulo de vértices $\left ( b,\: f\left ( b \right ) \right )$, $\left ( 2b,\: f\left ( b \right ) \right )$, $\left ( 2b,\: f\left ( 2b \right ) \right )$ e $\left ( b,\: f\left ( 2b \right ) \right )$ vale
A) $b\: log\: x$.
B) $log\: 2$.
C) $b\: log\: 2$.
D) $log\: b$.
Solução: (C)
Segundo a Geometria Analítica temos que a área do quadrilátero é dado na relação:
$\acute{A}rea_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{B} & y_{B} & 1\\
x_{C} & y_{C} & 1
\end{vmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{C} & y_{C} & 1\\
x_{D} & y_{D} & 1
\end{vmatrix}$
Esta fórmula deriva do fato de que dividimos o quadrilátero ABCD em dois triângulos e somamos suas áreas, lembrando que a área de um triângulo quando é dado as coodenadas dos seus vértices é dado segundo a relação:
$\acute{A}rea_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{B} & y_{B} & 1\\
x_{C} & y_{C} & 1
\end{vmatrix}$
Por se tratar de um retângulo, temos que as duas áreas são iguais, logo:
$\acute{A}rea_{ABCD}=\begin{vmatrix}
x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{B} & y_{B} & 1\\ x_{C} & y_{C} & 1
\end{vmatrix}$
$\acute{A}rea_{ABCD}=b\cdot f\left ( b \right )+2b\cdot f\left ( b \right )+2b\cdot f\left ( 2b \right )-\left [ 2b\cdot f\left ( b \right )+b\cdot f\left ( 2b \right )+2b\cdot f\left ( b \right ) \right ]$
$\acute{A}rea_{ABCD}=b\cdot f\left ( b \right )+2b\cdot f\left ( b \right )+2b\cdot f\left ( 2b \right )-2b\cdot f\left ( b \right )-b\cdot f\left ( 2b \right )-2b\cdot f\left ( b \right )$
$\acute{A}rea_{ABCD}=b\cdot f\left ( 2b \right )-b\cdot f\left ( b \right )$
$\acute{A}rea_{ABCD}=b\cdot \left [log\left ( 2b \right ) \right ]-b\cdot log\left ( b \right )=b\cdot \left [log\left ( 2 \right )+log\left ( b \right ) \right ]-b\cdot log\left ( b \right )=b\cdot log\left ( 2 \right )+b\cdot log\left ( b \right )-b\cdot log\left ( b \right )$
$\acute{A}rea_{ABCD}=b\cdot log\left ( 2 \right )$
Para melhor compreensão disponibilizo um applet do GeoGebra:
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