Blog Mania de Matemática

Numa cidade com cerca de 5 milhões de habitantes, realiza-se uma pesquisa em laboratório em que uma cultura de bactérias é mantida com alimento ilimitado e sem inimigos. Sabendo-se que o número de bactérias presentes num certo instante t0 é igual a 100 e que esse número dobra de valor a cada hora transcorrida, o primeiro instante (em horas), após t0, no qual a população de bactérias ultrapassará a população da cidade é
(A) menor ou igual a 10 horas. (B) maior do que 10 horas, porém, menor ou igual a 20 horas. (C) maior do que 20 horas, porém, menor ou igual a 24 horas. (D) maior do que 24 horas, porém, menor ou igual a 48 horas. (E) maior do que 48 horas.
Solução: (B)
Na alisando o enunciado temos a seguinte seqüência {100, 200, 400, 800, ...} de tal forma que  
Inicio → 100 bactérias
1º hora → 200 bactérias → 100 ∙ 2
2º hora → 400 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 2) → 100 ∙ 22
3º hora → 800 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 22) → 100 ∙ 23
4º hora → 1.600 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 23) → 100 ∙ 24
E assim por diante sempre …

Dados os conjuntos A = {x Є R : x2 < 1} e B = {x Є R : 1 / x < 2}
pode-se afirmar que
(A) A ∩ B = ]1/2 , 1[ (B) A ∩ B = ] –1 , 0[ È ]1/2 , 1[ (C) A ∩ B = ] –1 , 1/2[ (D) A ∪ B = ] –1 , 0[ È ]1/2 , +∞[ (E) A ∪ B = ] –∞ , 1/2[
Solução: (B)

Para resolver esta questão devemos realizar o estudo dos sinais de cada equação. Temos vários métodos para realizar este estudo. Utilizo comumente o método apresentado no livro "Introduccion al Calculo" de  James Stewart. 
Para a equação do conjunto “A”.
x2 < 1 →x2 – 1 < 0 (inequação do segundo grau)
Considerando x2 – 1 = 0, obtemos as raízes –1 e 1.

]–∞ , –1[ ]–1 , 1[ ]1 , +∞[ x2 – 1 + – +
Pelo estudo de sinal sabemos que o conjunto solução desta equação são os números que pertencem ao intervalo: ] –1 , 1[ . Para a equação do conjunto “A”.
1 / x < 2 → 1 / x – 2 < 0 → (1 – 2 ∙ x) / x < 0 (inequação quociente)
Na inequação quociente devemos levar em consideração o fato de a incógnita estar no denominador, já que neste caso temos restrições na s…

Um cubo com arestas de medida aé cortado por 8 planos, cada um determinado pelos pontos médios das arestas que incidem em cada vértice. Retiram-se do cubo as 8 pirâmides obtidas. O volume do sólido restante é

Quando um raio de luz é refletido em uma superfície lisa, o ângulo formado pelo raio incidente com a superfície é congruente ao ângulo formado pelo raio refletido com a superfí-cie. Na figura, os ângulos ABC e BCD medem, respectiva-mente, 90º e 70º e o raio incidente faz um ângulo de medida x = 30º com a superfície AB. Sob que ângulo o raio incide em AB na segunda vez?

(A) 40º.
(B) 50º.
(C) 60º.
(D) 70º.
(E) 80º.

Solução: (D)

A Figura 1 mostra como determinar os ângulos de incidência sobre as reta BC e CD. 


Para calcular o ângulo de incidência sobre a reta BC observe que o raio de luz forma e as retas AB e BC forma um triângulo do qual conhecemos dois ângulos o ângulo de reflexão de 30º e o ângulo B de 90º, assim o ângulo de incidência é de 60º (soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º).
Para calcular o ângulo de incidência sobre a reta CD observe que o raio de luz forma e as retas BC e CD forma um triângulo do qual conhecemos dois ângulos o ângulo de reflexão de 60º e o ângulo C de 70…