Blog Mania de Matemática

No Caderno do Professor para o 6.º ano (antiga 5.ª série) do Ensino Fundamental da Secretaria de Educação de São Paulo, há certo destaque para atividades envolvendo escritas numéricas em outras bases, além da base dez, com a finalidade de promover a compreensão dos alunos de características do Sistema de Numeração Decimal. Em uma dessas atividades, um professor propôs que contassem uma determinada quantidade de pedrinhas na base cinco e que registrassem essa quantidade utilizando os algarismos indo-arábicos e o princípio do valor posicional. Se a quantidade de pedrinhas registrada foi (244)cinco o número de pedrinhas, escrita na base dez, é
(A) 488. (B) 122. (C) 87. (D) 74. (E) 37.
Solução: (D)
Para converter 244 que está na base 5 procedemos da seguinte maneira:
244 = 2 · 52 + 4 · 51 + 4 · 50 = 2 · 52 + 4 · 5 + 4 = 2 · 25 + 4 · 5 + 4

244 = 50 + 20 + 4 = 74

Escolhe-se uma entre três moedas. Duas dessas moedas não são viciadas e a outra tem duas caras. A moeda selecionada é lançada e é obtida uma cara. A probabilidade de ter sido selecionada a moeda de duas caras é
(A) 1/5. (B) 1/3. (C) 1/2. (D) 2/5. (E) 2/3.
Solução: (C)
Trata-se de uma questão envolvendo probabilidade condicional.
Seja V o evento “escolher a moeda viciada”, H o evento “escolher a moeda honesta” e C o evento “deu cara”, então:
P(V | C) = P(V∩C) / P(C)
(lê-se “a probabilidade condicional de ‘escolher a moeda viciada’ dado ‘deu cara’ é igual a probabilidade de ‘moeda viciada e cara’ dividida pela probabilidade de ‘deu cara’”).
P(V∩C) = P(V) · P(C | V)
(lê-se “a probabilidade de ‘moeda viciada e cara’ é igual a probabilidade de ‘moeda viciada’ multiplicada pela probabilidade condicional de ‘deu cara’ dado ‘escolher a moeda viciada’”).
P(C) = P(V∩C) + P(H∩C)
(lê-se “a probabilidade de ‘cara’ é igual a probabilidade de ‘moeda viciada e cara’ somado a probabilidade de ‘moeda honesta e cara’…

Os autores do volume 1 da coleção A Matemática do Ensino Médio fazem no capítulo 1 diversas e importantes reflexões a respeito do tema Conjuntos. Uma delas trata da série de implicações lógicas envolvidas na determinação das raízes de uma equação.
Analise a sequência a seguir, discutida por esses autores. Nessa sequência, as letras P, Q, R e S representam, cada uma, a condição sobre o número real x expressa na igualdade ao lado. Assim, P significa x2 + 1 = 0 etc.
(P) x2 + 1 = 0 (multiplicando-se por x2 – 1) (Q) x4 – 1 = 0 (R) x4 = 1 (S) x∈{–1, 1}
 A respeito das implicações P ⟹ Q ⟹ R ⟹ S, é correto concluir que
(A) todas são verdadeiras e pela transitividade conclui-se também que P ⟹ S, logo –1 e 1 são raízes da equação x2 + 1 = 0.
(B) todas são verdadeiras, mas a implicação P ⟹ S é falsa, logo, –1 e 1 não são raízes da equação x2 + 1 = 0.
(C) todas são verdadeiras, assim como a implicação P ⟹ S; entretanto –1 e 1 não são raízes da equação x2 + 1 = 0, pois a recíproca da implicação P ⟹ Q não é…

Segundo o livro História da Matemática, de Carl B. Boyer, o conceito de número inteiro é o mais antigo na matemática e sua origem se perde nas névoas da antiguidade pré-histórica. Este autor também afirma que, em relação às frações racionais, parece que
(A) os homens práticos das tribos primitivas não sentiram tão cedo a necessidade de usar frações, pois, para as necessidades quantitativas, podiam escolher unidades suficientemente pequenas.
(B) os homens práticos das tribos primitivas não sentiram tão cedo a necessidade de usar frações, com exceção dos antigos gregos que tinham muitos problemas geométricos para resolver.
(C) os homens práticos das tribos primitivas não sentiram tão cedo a necessidade de usar frações, com exceção dos antigos babilônios que tinham muitos problemas a respeito do cálculo das áreas de suas terras para resolver.
(D) os homens práticos da grande maioria das tribos primitivas logo perceberam a necessidade do uso de frações, pois os números inteiros eram insuficie…

Carl Boyer, em seu livro História da Matemática, apresenta e discute ideias de Euclides de Alexandria, que é o autor de Os Elementos. Para Boyer, os Elementos “não só constituem a mais antiga obra matemática grega importante a chegar até nós, mas o texto mais influente de todos os tempos. Foi composto em 300 a.C., aproximadamente, e foi copiado e recopiado repetidamente depois.” Os Elementos estão distribuídos em 13 livros ou capítulos. O primeiro livro começa com vinte e três definições, seguidas de cinco postulados e cinco definições comuns. Sabe-se que a negação do quinto postulado de Euclides tem uma importância vital para o desenvolvimento de outras geometrias: as geometrias não euclidianas. O quinto postulado de Euclides, segundo Boyer, é assim enunciado:
(A) em um sistema axiomático dedutivo, não existem proposições aceitas como verdadeiras para as quais não se exige demonstração, pois em geometria qualquer afirmação deve ser provada.
(B) a demonstração de um teorema geométrico e…