Questão 45 – Processo de Promoção – Quadro do Magistério – Professor de Educação Básica II – Matemática – São Paulo

Os autores do volume 1 da coleção A Matemática do Ensino Médio fazem no capítulo 1 diversas e importantes reflexões a respeito do tema Conjuntos. Uma delas trata da série de implicações lógicas envolvidas na determinação das raízes de uma equação.

Analise a sequência a seguir, discutida por esses autores. Nessa sequência, as letras P, Q, R e S representam, cada uma, a condição sobre o número real x expressa na igualdade ao lado. Assim, P significa x² + 1 = 0 etc.

(P) x² + 1 = 0 (multiplicando-se por x² – 1)

(Q) x⁴ – 1 = 0

(R) x⁴ = 1

(S) x ∈{–1, 1}

 A respeito das implicações P ⟹ Q ⟹ R ⟹ S, é correto concluir que

(A) todas são verdadeiras e pela transitividade conclui-se também que P ⟹ S, logo –1 e 1 são raízes da equação x² + 1 = 0.

(B) todas são verdadeiras, mas a implicação P ⟹ S é falsa, logo, –1 e 1 não são raízes da equação x² + 1 = 0.

(C) todas são verdadeiras, assim como a implicação P ⟹ S; entretanto –1 e 1 não são raízes da equação x² + 1 = 0, pois a recíproca da implicação P ⟹ Q não é verdadeira.

(D) a implicação P ⟹ Q não é verdadeira, o que invalida todos os demais passos, logo, –1 e 1 não são raízes da equação x² + 1 = 0.

(E) a implicação R ⟹ S não é verdadeira como também sua recíproca, logo, –1 e 1 não são raízes da equação x² + 1 = 0.

Solução: (C)

Podemos observar que –1 e 1 não são as raízes da equação x² + 1 = 0, pois, para x = –1, então (–1)² + 1 = 0 → 2 = 0, logo é uma afirmação falsa; e para x = 1, então (1)² + 1 = 0 → 2 = 0.

Então a equação x² + 1 = 0 não apresenta raízes reais, sendo as raízes dessa equação ±√(–1), ou seja, são raízes complexas. Então o conjunto loção para o conjunto dos números reais é o conjunto vazio: { } ou Ø.

P ⟹ Q ⟹ R ⟹ S significa que x satisfaz P então satisfaz Q; x satisfaz Q então satisfaz R; x satisfaz R então satisfaz S; logo, por transitividade, x satisfaz P então satisfaz S, ou seja, P ⟹ S.

Algo importante que temos que observar é a reciprocidade, ou seja, todos os passos devem ser revertidos: S ⟹ R ⟹ Q ⟹ P, logo, por transitividade S ⟹ P.

Conforme o enunciado:

(P) x² + 1 = 0 (multiplicando-se por x² – 1)

(x² + 1) · (x² – 1) = 0 · (x² – 1)

(x² + 1) · (x² – 1) = 0

Temos um caso de diferença de dois quadrados: (a² – b²) = (a + b) · (a – b).

(x² + 1) · (x² – 1) = [(x²)² – 1] = (x⁴ – 1)

(Q) x⁴ – 1 = 0

(R) x⁴ = 1

(S) x ∈{–1, 1}

Logo P ⟹ Q ⟹ R ⟹ S, ou seja, P ⟹ S, ou seja, as possíveis raízes reais de x² + 1 = 0 pertencem ao conjunto {–1, 1}.

O raciocínio está correto, entretanto se realizar a reciproca S ⟹ R ⟹ Q ⟹ P podemos verificar que Q ⟹ P não pode ser realizada, tratando de uma afirmação falsa, visto que sabemos que o conjunto das soluções reais da equação x² + 1 = 0 é Ø.

Quando realizamos a reciproca estamos querendo afirmar que {–1, 1} está contido em Ø, portanto é uma afirmação falsa.

O leitor pode estar pensando o porquê de P ⟹ Q ⟹ R ⟹ S, então P ⟹ S, é uma afirmação verdadeira, pois significa as raízes reais de x² + 1 = 0 pertencem ao conjunto {–1, 1}, se sabemos que x² + 1 = 0 não apresenta raízes reais?

O conjunto solução das raízes reais da equação x² + 1 = 0 é Ø e sabemos que este conjunto (Ø) está contido em todos os conjuntos, logo Ø está contido em {–1, 1}.