Blog Mania de Matemática

Uma determinada empresa de ônibus aluga seus ônibus para estudantes em viagens para encontros e congressos. Um grupo decidiu viajar para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta: o preço de cada passagem depende do total de passageiros – cada  passageiro pagará R\$ 90,00 mais o valor de R\$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares, é CORRETO afirmar que:



A) o valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35.


B) se o total de passageiros for x, o preço (em reais) de cada passagem será calculado pela expressão 450x – 5x2.


C) se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R\$ 110,00.


D) se viajarem 50 pessoas, a empresa deverá receber um total de R\$ 6.000,00 referente ao pagamento das passagens.


E) se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá r…

Ao contrário de um imóvel, que fica mais valorizado comercialmente dia após dia, um veículo começa a perder seu valor no instante em que sai da loja. Alguns modelos perdem menos, outros mais. Segundo um especialista, a média de depreciação de um carro de passeio nacional com até dois anos de vida é de 20% a 35%. Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se P representa o preço inicial (preço de fábrica) e p(t) o preço após t anos, determine o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um a automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use log 2 ≅ 0,301 e log 3 ≅ 0,477.

A) 14 anos.
B) 15 anos.
C) 13 anos.
D) 16 anos.
E) 18 anos.
Solução: (B)
Sendo F o valor inicial, temos:
1º ano: p(1) = F – 19% de F = F – (19/100) ∙ F = (81/100) ∙ F = 0,81 ∙ F
2º ano: p(2) = 0,81 ∙ F – 19% de (0,81 ∙ F) ∙ F = 0,81 ∙ F – (19/100) ∙ (0,81 ∙ F) = (0,81)2 ∙ F
3º ano…

Determine a(s) solução(ões) para a equação:
√(2 + √3)x + √(2 – √3)x = 4
A) x = –1 ou x = 1 B) x = –1 ou x = 2 C) x = 2 ou x = 2 D) x = –2 ou x = 2 E) x = 4
Solução: (D)
A chave para a resolução desta equação é notar que:
(2 – √3) = 1 / (2 + √3)
Por radiciação temos:
1 / (2 + √3) = [1 / (2 + √3)] ∙ [(2 – √3) / (2 – √3)] = (2 – √3)
Resolvendo a equação:
√(2 + √3)x + √(2 – √3)x = 4 → √(2 + √3)x + √(1 / (2 + √3))x = 4 →
→ √(2 + √3)x + 1 / √(2 – √3)x = 4 → [(√(2 + √3)x)2 + 1] / √ (2 + √3)x = 4 →
→ (√(2 + √3)x)2 + 1 = 4 ∙ (√ (2 + √3)x) →
→ (√(2 + √3)x)2 + 1 – 4 ∙ (√ (2 + √3)x) = 0

Considere a seqüência
an = logb1 √5 + logb2 √5 + ... + logbn √5
onde b1 = a (a > 1) e bk+1 = ( bk )2 , k = 1 , ... , n – 1. Determine o valor de a para o qual a10 = 1 – (1/2)10
A) 10 B) ­1/5 C) 1 D) 5 E) √5
Solução: (D)
Segundo o enunciado para a10 → n = 10 , temos:
k = 1 , 2 , 3 , ... , 8 , 9
b1 = a;
b1+1 = b2 = ( b1 )2 = ( a )2 = a2
b2+1 = b3 = ( b2 )2 = ( a2 )2 = a4
b3+1 = b4 = ( b3 )2 = ( a4 )2 = a8
( ... )
b9+1 = b10 = ( b9 )2 = ( a256 )2 = a512
a10 = loga √5 + log(a2) √5 + log(a4) √5 + log(a8) √5 + .... + log(a256) √5 + log(a512) √5
Realizando mudança de base nos logaritmos:
log(a2) √5 = (loga √5) / (loga a2) = (loga √5) / (2 ∙ loga a) = (1/2) ∙ loga √5
log(a4) √5 = (loga √5) / (loga a4) = (loga √5) / (4 ∙ loga a) = (1/4) ∙ loga √5 (...)
log(a256) √5 = (loga √5) / (loga a256) = (loga √5) / (256 ∙ loga a) = (1/256) ∙ loga √5
log(a512) √5 = (loga √5) / (loga a512) = (loga √5) / (512 ∙ loga a) = (1/512) ∙ loga √5 a10 = loga √5 + (1/2) ∙ loga √5 + (1/4) ∙ loga √5 + .... + (1/512) ∙ loga √5
a10 = loga √5 …

A seqüência 4, 7, 8, 6, 7, 9, 5, 10, 8, 6, 7 indica as notas de Estatística dos 11 alunos que estão cursando uma Pós-Graduação em Matemática. Assinale a alternativa que apresenta os valores da moda, mediana e variância desses dados, nessa ordem.

A) 7 , 6 , 26/11 B) 6 , 7 , 25/11 C) 7 , 7 , 30/11 D) 7 , 6 , 30 E) 6 , 6 , 24/11
Solução: (C)
Agrupando os dados em ordem crescente:
4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Analisando temos: Moda = nota 7 e Mediana = nota 7. (definição de Moda e Mediana)
Não é necessário o calculo da Variância para se determinar a alternativa correta.
A variância (σ) é uma medida de dispersão utilizada na estatística sendo base para o calculo do desvio padrão.
Para se calcular a variância devemos inicialmente calcular a média:
x = (4 + 5 + 6 + 6 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 9 + 10) / 11 = 77 / 11 = 7
σ = [(4 – 7)2 + (5 – 7)2 + (6 – 7)2 + (6 – 7)2 + (7 – 7)2 + + (7 – 7)2 + (7 – 7)2 + (8 – 7)2 + (8 – 7)2 + (9 – 7)2 + (10 – 7)2] / 11 = 30/11

O produto de 3 números pares e consecutivos é 88_ _ _ _ _2, em que cada espaço há um algarismo. Determine estes 5 algarismos.

A) 5, 1, 4, 6, 8
B) 1, 3, 4, 7, 6
C) 2, 3, 5, 7, 6
D) 6, 7, 2, 1, 3
E) 7, 1, 4, 7, 5

Solução: (E)

Segundo o enunciado os três números são pares, logo os possíveis algarismos para as unidades são {0 , 2 , 4 , 6 , 8}.

Sendo números consecutivos temos cinco possibilidades de seqüências:
– três números consecutivos cujas unidades são {0 , 2 , 4}; – três números consecutivos cujas unidades são {2 , 4 , 6}; – três números consecutivos cujas unidades são {4 , 6 , 8}; – três números consecutivos cujas unidades são {6 , 8 , 0}; – três números consecutivos cujas unidades são {8 , 0 , 2};
Como 88_ _ _ _ _2 é obtido da multiplicação de três números, e o algarismo da unidade é diferente de zero, as seqüência acima em que aparecem o zero não satisfazem as condições do enunciado, pois neste caso o algarismo da unidade é zero.
Temos neste caso duas possíveis seqüências: – três números consecu…

Nos Estados Unidos a escala termométrica mais utilizada é a escala Fahrenheit (°F) enquanto que no Brasil é a escala Celsius (°C). Sabe-se que 23°C correspondem a 73,4°F e que 109,4°F correspondem a 43°C e que essas duas escalas podem ser relacionadas por uma função afim. Quando uma determinada temperatura aumenta em 1°C, qual o aumento dessa temperatura em na escala Fahrenheit?
A) 32°F B) 33°F C) 0,55°F D) 33,8°F E) 1,8°F
Solução: (E)
Este problema é tipo de vestibulares sendo resolvido por meio do teorema de Tales. Para isto o enunciado deve fornecer duas temperaturas: uma temperatura que será a mínimas e outra temperatura que será a máximas.
Montamos uma Escala Termométrica:

T°C máx.   ---------------   T°F máx.
T°C         ---------------  T°F
T°C min.  ---------------  T°F min.

Onde T°C máx. ; T°F máx. ;  T°C min. ; T°F min. são dados obtidos do enunciado.
Aplicando o Teorema de Tales, temos: (T°C – T°C min.) / (T°C máx. – T°C min.) = (T°F – T°F máx. ) / (T°F máx. – T°F min.)
Segundo o enunciad…

As planilhas eletrônicas facilitaram vários procedimentos em muitas áreas, sejam acadêmicas ou profissionais. Na matemática, para obter o determinante de uma matriz quadrada, com um simples comando, uma planilha fornece rapidamente esse valor. Em uma planilha eletrônica,temos os valores armazenados em suas células:
Para obter o determinante de uma matriz utiliza-se o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:D4)” e essa planilha fornece o valor do determinante:

Se em uma outra planilha forem armazenados os valores representados a seguir,

ao se acionar o comando “=MATRIZ.DETERM(A1:C3)” o valor do determinante é:
A) 7 B) 4104 C) 2376 D) 1512 E) 8424
Solução: (D)
Da planilha eletrônica obtermos o determinante:
| –12 0 6 | | 18 –12 6 | | –6 30 –24 |
Calculando o determinante pela “Regra de Sarrus”:
| –12 0 6 | –12 0 | |