Questão 73 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

Um cubo com arestas de medida aé cortado por 8 planos, cada um determinado pelos pontos médios das arestas que incidem em cada vértice. Retiram-se do cubo as 8 pirâmides obtidas. O volume do sólido restante é

(A) a³ / 6.

(B) a³ / 3.

(C) a³ / 2.

(D) 2a³ / 3.

(E) 5a³ / 6.

Solução: (E)

Quando os planos cortam o cubo em cada vértice forma uma pirâmide, na Figura 1 temos representado uma destas pirâmides.

Figura 1: Representação da pirâmide formada no vértice do cubo.

Cada pirâmide possui quatro faces: três faces iguais e com a forma de um triângulo isóscele retângulo e uma face com a forma de um triângulo equilátero.

Podemos determinar a medida das arestas que formam a face do triângulo equilátero por meio do Teorema de Pitágoras, para isto utilizamos uma das faces formada por um triângulo isóscele retângulo.

h² = c² + c² = (a / 2)² + (a / 2)²

h² = 2 ∙ (a / 2)²

h = √ [2 ∙ (a / 2)²]

h = (a ∙ √ 2) / 2

Para facilitar os cálculos vamos considerar uma das três faces iguais como sendo a base da pirâmide, assim a altura desta pirâmide é de a / 2.

O volume da pirâmide é um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide:

Volume_pirâmide = (1 / 3) ∙ (Área_base ∙ altura)

Área_base = Área_triângulo = (1 / 2) ∙ (base ∙ altura)

Área_base = (1 / 2) ∙ [(a / 2) ∙ (a / 2)] = a² / 8

Volume_pirâmide = (1 / 3) ∙ [(a² / 8) ∙ (a / 2) = a³ / 48

O volume original do cubo é de a³ e estamos subtraindo oito pirâmides congruentes, o volume do sólido formado é:

Volume_sólido = Volume_cubo – 8 ∙ (Volume_pirâmide) = a³ – 8 (a³ / 48) = (5 ∙ a³) / 6

Resolução a pedido da Profª. Cleonice.