Questão 57 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

Numa cidade com cerca de 5 milhões de habitantes, realiza-se uma pesquisa em laboratório em que uma cultura de bactérias é mantida com alimento ilimitado e sem inimigos.

Sabendo-se que o número de bactérias presentes num certo instante t₀ é igual a 100 e que esse número dobra de valor a cada hora transcorrida, o primeiro instante (em horas), após t₀, no qual a população de bactérias ultrapassará a população da cidade é

(A) menor ou igual a 10 horas.

(B) maior do que 10 horas, porém, menor ou igual a 20 horas.

(C) maior do que 20 horas, porém, menor ou igual a 24 horas.

(D) maior do que 24 horas, porém, menor ou igual a 48 horas.

(E) maior do que 48 horas.

Solução: (B)

Na alisando o enunciado temos a seguinte seqüência {100, 200, 400, 800, ...} de tal forma que  

Inicio → 100 bactérias

1º hora → 200 bactérias → 100 ∙ 2

2º hora → 400 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 2) → 100 ∙ 2²

3º hora → 800 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 2²) → 100 ∙ 2³

4º hora → 1.600 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 2³) → 100 ∙ 2⁴

E assim por diante sempre dobrando a população da hora anterior.

Podemos obter a função que rege a população destas bactérias em determinado tempo t.

P(t) = 100 ∙ 2^t

Para P(t) > 5 milhões → P(t) > 5000000.

100 ∙ 2^t < 5000000

Para auxiliar na hora de calcular vamos considerar uma equação ao invés de uma inequação:

100 ∙ 2^t < 5000000 → 100 ∙ 2^t = 5000000

Vamos analisar alguns casos para a resolução:

(1º Caso)

100 ∙ 2^t = 5000000

2^t = 50000

2^t = 5 ∙ 10⁴

2^t = 5 ∙ 10⁴

log (2^t) = log (5 ∙ 10⁴)

log (2^t) = log (5) + log (10⁴)

t ∙ log (2) = log (5) + 4 ∙ log (10)

t ∙ log (2) = log (5) + 4

t = [log (5) + 4] / log (2)

t ≈ 15,6096 horas

Logo o a população de bactérias ultrapassa a população da cidade após aproximadamente 15 horas 36 minutos e 35 segundos.

(2º Caso)

100 ∙ 2^t = 5000000

2 ∙ 2^t = 100000 → dividindo os membros da igualdade por 50

2^t+1 = 10⁵

log (2^t+1) = log (10⁵)

(t + 1) ∙ log (2) = 5 ∙ log (10)

(t + 1) ∙ log (2) = 5

t + 1 = 5 / log (2)

t = [5 / log (2)] – 1

t ≈ 15,6096 horas

Logo o a população de bactérias ultrapassa a população da cidade após aproximadamente 15 horas 36 minutos e 35 segundos.

Para se resolver a questão no 1º Caso e no 2° Caso, o é necessário conhecer os valores aproximados para log (2) e log (5), entretanto o enunciado não especifica qual o valor que deve ser utilizado.

(3º Caso)

A matemática aplicada no cotidiano se baseia mais em cálculos estimados do que em cálculos exatos. As próprias alternativas demonstram este fato, pois não oferecem alternativas com valores exatos de tempo, mas sim em intervalos de tempos.

100 ∙ 2^t = 5000000

2^t = 50000

2^t = 50 ∙ 1000

O que devemos realizar é uma aproximação do valor de 50 e 1000 em potencias de 2

Potencias de 2 → 2ⁿ ={2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...} para n ={1, 2, 3, 4, ...}

Podemos considerar 50 como sendo 2⁶ e 1000 como sendo 2¹⁰.

2^t = 50 ∙ 1000 ≈ 2⁶ ∙ 2¹⁰ ≈ 2¹⁶ → 2^t ≈ 2¹⁶ → t ≈ 16 horas

Como realizamos aproximações podemos considerar que a população de bactérias ultrapassa a população da cidade em aproximadamente 16 horas.

Resolução a pedido da Profª. Ane.