Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 57 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

Numa cidade com cerca de 5 milhões de habitantes, realiza-se uma pesquisa em laboratório em que uma cultura de bactérias é mantida com alimento ilimitado e sem inimigos.
Sabendo-se que o número de bactérias presentes num certo instante t0 é igual a 100 e que esse número dobra de valor a cada hora transcorrida, o primeiro instante (em horas), após t0, no qual a população de bactérias ultrapassará a população da cidade é

(A) menor ou igual a 10 horas.
(B) maior do que 10 horas, porém, menor ou igual a 20 horas.
(C) maior do que 20 horas, porém, menor ou igual a 24 horas.
(D) maior do que 24 horas, porém, menor ou igual a 48 horas.
(E) maior do que 48 horas.

Solução: (B)

Na alisando o enunciado temos a seguinte seqüência {100, 200, 400, 800, ...} de tal forma que  

Inicio → 100 bactérias

1º hora → 200 bactérias → 100 ∙ 2

2º hora → 400 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 2) → 100 ∙ 22

3º hora → 800 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 22) → 100 ∙ 23

4º hora → 1.600 bactérias → 2 ∙ (100 ∙ 23) → 100 ∙ 24

E assim por diante sempre dobrando a população da hora anterior.

Podemos obter a função que rege a população destas bactérias em determinado tempo t.

P(t) = 100 ∙ 2t

Para P(t) > 5 milhões → P(t) > 5000000.

100 ∙ 2t < 5000000

Para auxiliar na hora de calcular vamos considerar uma equação ao invés de uma inequação:

100 ∙ 2t < 5000000 → 100 ∙ 2t = 5000000

Vamos analisar alguns casos para a resolução:

(1º Caso)

100 ∙ 2t = 5000000

2t = 50000

2t = 5 ∙ 104

2t = 5 ∙ 104

log (2t) = log (5 ∙ 104)

log (2t) = log (5) + log (104)

t ∙ log (2) = log (5) + 4 ∙ log (10)

t ∙ log (2) = log (5) + 4

t = [log (5) + 4] / log (2)

t ≈ 15,6096 horas

Logo o a população de bactérias ultrapassa a população da cidade após aproximadamente 15 horas 36 minutos e 35 segundos.

(2º Caso)

100 ∙ 2t = 5000000

2 ∙ 2t = 100000 → dividindo os membros da igualdade por 50

2t+1 = 105

log (2t+1) = log (105)

(t + 1) ∙ log (2) = 5 ∙ log (10)

(t + 1) ∙ log (2) = 5

t + 1 = 5 / log (2)

t = [5 / log (2)] – 1

t ≈ 15,6096 horas

Logo o a população de bactérias ultrapassa a população da cidade após aproximadamente 15 horas 36 minutos e 35 segundos.

Para se resolver a questão no 1º Caso e no 2° Caso, o é necessário conhecer os valores aproximados para log (2) e log (5), entretanto o enunciado não especifica qual o valor que deve ser utilizado.

(3º Caso)

A matemática aplicada no cotidiano se baseia mais em cálculos estimados do que em cálculos exatos. As próprias alternativas demonstram este fato, pois não oferecem alternativas com valores exatos de tempo, mas sim em intervalos de tempos.

100 ∙ 2t = 5000000

2t = 50000

2t = 50 ∙ 1000

O que devemos realizar é uma aproximação do valor de 50 e 1000 em potencias de 2

Potencias de 2 → 2n ={2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, ...} para n ={1, 2, 3, 4, ...}

Podemos considerar 50 como sendo 26 e 1000 como sendo 210.

2t = 50 ∙ 1000 ≈ 26 ∙ 210 ≈ 216 → 2t ≈ 216 → t ≈ 16 horas

Como realizamos aproximações podemos considerar que a população de bactérias ultrapassa a população da cidade em aproximadamente 16 horas.

Resolução a pedido da Profª. Ane.

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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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