Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 52 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

Dados os conjuntos
A = {x Є R : x2 < 1} e B = {Є R : 1 / x < 2}

pode-se afirmar que

(A) A  B = ]1/2 , 1[
(B) A  B = ] –1 , 0[ È ]1/2 , 1[
(C) A  B = ] –1 , 1/2[
(D) A ∪ B = ] –1 , 0[ È ]1/2 , +∞[
(E) A ∪ B = ] –∞ , 1/2[

Solução: (B)

Para resolver esta questão devemos realizar o estudo dos sinais de cada equação. Temos vários métodos para realizar este estudo. Utilizo comumente o método apresentado no livro "Introduccion al Calculode  James Stewart. 

Para a equação do conjunto “A”.

x2 < 1  x2 – 1 < 0 (inequação do segundo grau)

Considerando x2 – 1 = 0, obtemos as raízes –1 e 1.


]–∞ , –1[
]–1 , 1[
]1 , +∞[
x2 – 1
+
+

Pelo estudo de sinal sabemos que o conjunto solução desta equação são os números que pertencem ao intervalo: ] –1 , 1[ .
Para a equação do conjunto “A”.

1 / x < 2  1 / x – 2 < 0  (1 – 2 ∙ x) / x < 0 (inequação quociente)

Na inequação quociente devemos levar em consideração o fato de a incógnita estar no denominador, já que neste caso temos restrições na solução.

Resolvemos a equação do numerador e do denominador de forma separada:

Para o numerador:

 1 – 2 ∙ x = 0  x = 1 / 2

Para o denominador

Neste caso sendo o denominador apenas x temos uma restrição, pois o denominador pode ser qualquer número real diferente de 0, logo  0.


]–∞ , 0[
]0 , 1/2[
]1/2 , +∞[
1 – 2 x
+
+
x
+
+
(1 – 2 x) / x
+

Pelo estudo de sinal sabemos que o conjunto solução desta equação são os números que pertencem ao intervalo: ] –∞ , 0[  ]1/2 , +∞[ .

Para chegar à conclusão final, temos que analisar o que ocorre com o sinal em ambas às equações em relação aos intervalos dados pelos números {-1, 0, 1/2, 1}:


]–∞ , –1[
]–1 , 0[
]0 , 1/2[
]1/2 , 1[
]1 , +∞[
x2 – 1
+
+
(1 – 2 x) / x
+

As alternativas se referem a união ()  e a intersecção () entre os conjuntos A e B.

A ∪ B são os intervalos que satisfazem qualquer um dos conjuntos, ou seja, são os intervalos no qual as equações geram resultados negativos, neste caso são todos os números reais exceto o 0. logo:

∪ B  = R – {0}

 B são todos os resultados que satisfazem ambos os conjuntos, ou seja, são os intervalos no qual ambas as equações geram resultados negativos, neste caso são todos os intervalos que s exceto o 0, neste caso são os intervalos  ]–1 , 0[ e ]1/2 , 1[ , logo:

A ∩ B  = ]–1 , 0[  ]1/2 , 1[

A resolução poderia ser realizada graficamente. Na Figura 1, apresento os gráficos das equações.

Figura 1: Gráfico das Equações do Conjunto A e do Conjunto B.

Pelo gráfico podemos determinar a solução do problema. Observe que temos que reorganizar ambas as equações obtendo para o conjunto A: x2 – 1 < 0, e para o conjunto B: (1 – 2 ∙ x) / x < 0, no conjunto B temos uma restrição por se tratar de um quociente, então  0. 

Como ambos os conjuntos são formados por números negativos e não nulos. Observamos os intervalos ]–1 , 0[ , ]0 , 1/2[ e ]1/2 , 1[ . 

Somente entre os intervalos ]–1 , 0[ e ]1/2 , 1[ temos partes de ambos os gráficos, então são estes intervalos que satisfazem a condição de A ∩ B, explicado anteriormente.

Resolução a pedido da Profª. Ane.

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