Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos
No triângulo retângulo $ABC$ da figura abaixo, a mediana $\overline{AM}$, relativa à hipotenusa, forma com a altura $\overline{AH}$ um ângulo de $20^{\circ}$. Os ângulos $\widehat{B}$ e $\widehat{C}$ medem, respectivamente:
A) $25^{\circ}$ e $75^{\circ}$.
B) $40^{\circ}$ e $50^{\circ}$.
C) $35^{\circ}$ e $25^{\circ}$.
D) $20^{\circ}$ e $70^{\circ}$.
Solução: (C)
Nesta resolução devemos lembrar que:
(i) a mediana do triângulo retângulo, quando parte do ângulo reto, divide a hipotenusa em dois seguimentos congruentes a mediana, logo $\overline{CM}\equiv \overline{BM}\equiv \overline{AM}$;
(ii) a altura $\overline{AH}$ é perpendicular ao seguimento $\overline{BC}$;
(iii) a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$.
A Figura 1 apresenta os dados iniciais do enunciado:
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| Figura 1: Dados iniciais obtidos do enunciado. |
No triângulo $AHM$ o ângulo $\widehat{AMH}$:
$\widehat{AMH}=180^{\circ}-90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$
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| Figura 2: Indicação do ângulo $ \widehat{AMH} = 70^{\circ} $. |
Segundo a Figura 2, podemos observar que o ângulo $\widehat{AMB}$ é suplementar ao ângulo $\widehat{AMH}$ então:
$\widehat{AMB}+\widehat{AMH}=180^{\circ}\: \therefore \widehat{AMB}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$
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| Figura 3: Indicação do ângulo suplementar de $ \widehat{AMH} $. |
Na Figura 3 o triângulo $AMB$ é isóscele, pois $\overline{BM}\equiv \overline{AM}$, desta forma \widehat{MAB}\equiv \widehat{B}:
$\widehat{MAB}+\widehat{B}+ \widehat{AMB}=180^{\circ}$
$\widehat{B}+\widehat{B}+ 110^{\circ}=180^{\circ}$
$2\cdot \widehat{B}=180^{\circ}- 110^{\circ}$
$\widehat{B}=\frac{70^{\circ}}{2}= 35^{\circ}$
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| Figura 4: Indicação do ângulo $ \widehat{B} = 35^{\circ} $. |
Então analisando a Figura 4 podemos concluir que:
$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$
$\widehat{C}=180^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$
Logo $\widehat{B}=35^{\circ}$ e $\widehat{C}=55^{\circ}$.
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| Figura 5: Resolução indicando o ângulo $\widehat{B}=35^{\circ}$ e o ângulo $\widehat{C}=55^{\circ}$. |
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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