Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos
No triângulo retângulo ABC da figura abaixo, a mediana \overline{AM}, relativa à hipotenusa, forma com a altura \overline{AH} um ângulo de 20^{\circ}. Os ângulos \widehat{B} e \widehat{C} medem, respectivamente:
A) 25^{\circ} e 75^{\circ}.
B) 40^{\circ} e 50^{\circ}.
C) 35^{\circ} e 25^{\circ}.
D) 20^{\circ} e 70^{\circ}.
Solução: (C)
Nesta resolução devemos lembrar que:
(i) a mediana do triângulo retângulo, quando parte do ângulo reto, divide a hipotenusa em dois seguimentos congruentes a mediana, logo \overline{CM}\equiv \overline{BM}\equiv \overline{AM};
(ii) a altura \overline{AH} é perpendicular ao seguimento \overline{BC};
(iii) a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^{\circ}.
A Figura 1 apresenta os dados iniciais do enunciado:
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| Figura 1: Dados iniciais obtidos do enunciado. |
No triângulo AHM o ângulo \widehat{AMH}:
\widehat{AMH}=180^{\circ}-90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}
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| Figura 2: Indicação do ângulo $ \widehat{AMH} = 70^{\circ} $. |
Segundo a Figura 2, podemos observar que o ângulo \widehat{AMB} é suplementar ao ângulo \widehat{AMH} então:
\widehat{AMB}+\widehat{AMH}=180^{\circ}\: \therefore \widehat{AMB}=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}
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| Figura 3: Indicação do ângulo suplementar de $ \widehat{AMH} $. |
Na Figura 3 o triângulo AMB é isóscele, pois \overline{BM}\equiv \overline{AM}, desta forma \widehat{MAB}\equiv \widehat{B}:
\widehat{MAB}+\widehat{B}+ \widehat{AMB}=180^{\circ}
\widehat{B}+\widehat{B}+ 110^{\circ}=180^{\circ}
2\cdot \widehat{B}=180^{\circ}- 110^{\circ}
\widehat{B}=\frac{70^{\circ}}{2}= 35^{\circ}
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| Figura 4: Indicação do ângulo $ \widehat{B} = 35^{\circ} $. |
Então analisando a Figura 4 podemos concluir que:
\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}
\widehat{C}=180^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}
Logo \widehat{B}=35^{\circ} e \widehat{C}=55^{\circ}.
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| Figura 5: Resolução indicando o ângulo $\widehat{B}=35^{\circ}$ e o ângulo $\widehat{C}=55^{\circ}$. |
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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