Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos
Considere $$ com $a>1$ e $f: \left ] 0,\, +\infty \right [\, \rightarrow \mathbb{R}$ uma função definida por $f\left ( x \right )=a^{x}$. Dados os pontos $A\left ( -2,\, 0 \right )$, $B\left ( 2,\, 0 \right )$, $C\left ( 2,\, f\left ( 2 \right ) \right )$, $D\left ( 0,\, f\left ( 0 \right ) \right )$ e $E\left ( -2,\, f\left ( -2 \right ) \right )$, é CORRETO afirmar que a área do polígono ABCDE vale
A) $a^{2}+a^{-2}+2$.
B) $a^{2}+a^{-2}+1$.
C) $\frac{a^{2}+a^{-2}+2}{2}$.
D) $\frac{a^{2}+a^{-2}+1}{2}$.
Solução: (A)
Segundo a Geometria Analítica podemos obter que a área do poligono ABCDE de dividindo este poligono e somando suas áreas, conforme aa relação:
$\acute{A}rea_{ABCDE}=\acute{A}rea_{ADE}+\acute{A}rea_{ABD}+\acute{A}rea_{BCD}$
$\acute{A}rea_{ABCDE}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{D} & y_{D} & 1\\
x_{E} & y_{E} & 1
\end{vmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{B} & y_{B} & 1\\
x_{D} & y_{D} & 1
\end{vmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
x_{B} & y_{B} & 1\\
x_{C} & y_{C} & 1\\
x_{D} & y_{D} & 1
\end{vmatrix}$
Lembrado que a fórmula para se determinar a área de um triânguloquando é dado as coodenadas dos seus vértices é dado segundo a relação:
$\acute{A}rea_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
x_{A} & y_{A} & 1\\
x_{B} & x_{B} & 1\\
x_{C} & x_{C} & 1
\end{vmatrix}$
Substituindo os valores:
$\acute{A}rea_{ABCDE}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
-2 & 0 & 1\\
0 & f\left ( 0 \right ) & 1\\
-2 & f\left ( -2 \right ) & 1
\end{vmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
-2 & 0 & 1\\
2 & 0 & 1\\
0 & f\left ( 0 \right ) & 1
\end{vmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix}
2 & 0 & 1\\
2 & f\left ( 2 \right ) & 1\\
0 & f\left ( 0 \right ) & 1
\end{vmatrix}$
$\acute{A}rea_{ABCDE}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot f\left ( -2 \right ) +\frac{1}{2}\cdot 4\cdot f\left ( 0 \right ) +\frac{1}{2}\cdot 2\cdot f\left ( 2 \right ) $
$\acute{A}rea_{ABCDE}=f\left ( -2 \right ) +2\cdot f\left ( 0 \right ) + f\left ( 2 \right )$
$\acute{A}rea_{ABCDE}=a^{-2} +2\cdot a^{0} + a^{2}$
$\acute{A}rea_{ABCDE}=a^{-2} + a^{2}+2$
Para melhor compreensão disponibilizo um applet do GeoGebra:
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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