Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Pergunta do Internauta

Resolução a pedido da Profª. Cristiane.

Uma substancia radioativa se desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50 g dessa substância se reduzirão a 5 g?

Use Q = Q0 ∙ er t, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Resolução:

Para resolver esta questão é necessário relembrar algumas propriedades dos logaritmos. Pelos dados do problema: Q = 5 g (massa final da substância); Q0 = 50 g (massa inicial da substância, nas fórmulas o índice 0 indica inicial); r = 8% = 0,08.

Q = Q0 ∙ er t → 5 = 50 ∙ e–0,08 t →5 / 50 = e–0,08 t → 1 / 10 = e–0,08 t → 10–1 = e–0,08 t

Observe que o expoente do número “e” é negativo então vamos realizar mais um passo que nos auxiliará nos passos seguintes:

 1 / 10 = e–0,08 t → 10–1 = e–0,08 t

Devemos determinar o logaritmo de cada lado da igualdade, neste passo utilizaremos as propriedades dos logaritmos para tirar a variável t do expoente. Por se tratar de uma função envolvendo o número “e” utilizaremos o logaritmo natural ou neperiano (loge = ln), ou seja, o logaritmo cuja base é o número “e”.

10–1 = e–0,08 t → ln ( 10–1 ) = ln ( e–0,08 t )

Segundo a propriedade do logaritmo: log (ab) = b ∙ log (a) , temos:

(–1) ∙ ln (10) = (–0,08 t) ∙ ln (e) → ln (10) = (0,08 t) ∙ ln (e)

Outra propriedade do logaritmo: loga (a) = 1, logo: loge (e) = ln (e) = 1 , então temos:

ln (10) = (0,08 t) ∙ ln (e) → ln (10) = 0,08 t

ln (10) ≈ 2,30258

ln (10) = 0,08 t → 2,30258 = 0,08 t t = 28,78225 anos ≈ 29 anos.

Observação:

Na internet o problema foi apresentado da seguinte forma: “Uma substancia radioativa se desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50g dessa substância se reduzirseão a 5g? Dados: log 92 = 1,96”, onde não é mencionada a função Q (t) = Q0 ∙ er t .

Seja Q a quantidade de substância decorrido determinado período (em anos) e Q0 a quantidade inicial da substância.

No primeiro ano:

Q1 = Q0 – 8% de Q0 = Q0 ∙ (1 – 0,08) = Q0 ∙ 0,92 = 50 ∙ 0,92 = 46 g

No segundo ano:

Q2 = Q1 – 8% de Q1 = Q0 ∙ 0,92 – 8% de (Q0 ∙ 0,92) = Q0 ∙ 0,92 ∙ 0,92 = Q0 ∙ 0,922 =

= 50 ∙ 0,922 = 42,32 g

No terceiro ano:

Q3 = Q2 – 8% de Q2 = Q0 ∙ 0,922 – 8% de (Q0 ∙ 0,922) = Q0 ∙ 0,922  ∙ 0,92 = Q0 ∙ 0,923 =

= 50 ∙ 0,923 = 38.93 g

E assim a regra segue, sendo que podemos determinar uma fórmula geral, onde t indica o tempo em anos:

Q = Q0 ∙ 0,92t Q = 50 ∙ 0,92t

Para Q = 5 g :

Q = 50 ∙ 0,92t → 5 = 50 ∙ 0,92t

5 / 50 = 0,92t → 1 / 10 = 0,92t → 10–1 = 0,92t

log (10–1) = log (0,92t) → (–1) ∙ log (10) = t ∙ log (0,92) → –1 = t ∙ log (92 / 100) →

→ –1 = t ∙ [log (92) – log (100)] → –1 = t ∙ [log (92) – log (102)] →

→ –1 = t ∙ [log (92) – 2 ∙ log (10)] → –1 = t ∙ [log (92) – 2] →

→ –1 = t ∙ [log (92) – 2] → –1 / [log (92) – 2] = t → –1 / [1,96 – 2] = tt = 25 anos

Utilizando uma calculadora cientifica para determinar o log (92) e utilizando todas as casas decimais disponibilizadas obtemos t = 27,6150... anos ≈ 28 anos.

Fonte:

IEZZI, Gerson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática Elementar Volume 2: Logaritmos. 3º ed. São Paulo: Editora Atual, 1.997.

Exercício na Web: http://www.geometriamar.com.br/pdf/geometriamar_prof_marcelolopes_funcao_log_lista2_PreVest.pdf
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