Resolução a pedido da Profª. Cristiane.
Uma
substancia radioativa se desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50
g dessa substância se reduzirão a 5 g?
Use Q = Q0
∙ e–r ∙ t, em que Q é a
massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.
Resolução:
Para resolver esta questão é necessário relembrar
algumas propriedades dos logaritmos. Pelos dados do problema: Q = 5 g (massa final da substância); Q0
= 50 g (massa inicial da substância,
nas fórmulas o índice 0 indica inicial); r = 8% = 0,08.
Q = Q0 ∙ e–r ∙
t → 5 = 50 ∙ e–0,08 ∙ t →5 / 50 = e–0,08 ∙
t → 1 / 10 = e–0,08 ∙ t → 10–1 = e–0,08 ∙
t
Observe que o expoente do número “e” é negativo
então vamos realizar mais um passo que nos auxiliará nos passos seguintes:
1 / 10 = e–0,08 ∙
t → 10–1 = e–0,08
∙ t
Devemos determinar o logaritmo de cada lado da
igualdade, neste passo utilizaremos as propriedades dos logaritmos para tirar a
variável t do expoente. Por se tratar
de uma função envolvendo o número “e” utilizaremos o logaritmo natural ou
neperiano (loge = ln), ou seja, o logaritmo cuja base é o número “e”.
10–1 = e–0,08 ∙ t → ln ( 10–1
) = ln ( e–0,08 ∙ t )
Segundo a propriedade do logaritmo: log (ab) = b ∙ log (a) , temos:
(–1) ∙ ln (10) = (–0,08 ∙ t) ∙ ln (e) → ln (10)
= (0,08 ∙ t) ∙ ln (e)
Outra propriedade do logaritmo: loga (a) = 1, logo: loge (e) = ln (e) = 1 , então temos:
ln (10) = (0,08
∙ t) ∙ ln (e) → ln (10) = 0,08 ∙
t
ln (10) ≈ 2,30258
ln (10) = 0,08
∙ t → 2,30258 = 0,08 ∙
t → t = 28,78225 anos ≈ 29 anos.
Observação:
Na internet o problema foi apresentado da seguinte
forma: “Uma substancia radioativa se
desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50g dessa substância se
reduzir–se–ão a 5g? Dados: log 92 = 1,96”, onde não é mencionada a função Q (t)
= Q0 ∙ e–r ∙
t .
Seja Q a
quantidade de substância decorrido determinado período (em anos) e Q0 a quantidade inicial da
substância.
No primeiro ano:
Q1 = Q0 – 8% de Q0 = Q0 ∙ (1 – 0,08) = Q0
∙ 0,92 = 50 ∙ 0,92 = 46 g
No segundo ano:
Q2 = Q1 – 8% de Q1 = Q0 ∙ 0,92 – 8% de (Q0
∙ 0,92) = Q0 ∙ 0,92 ∙ 0,92
= Q0 ∙ 0,922 =
= 50 ∙ 0,922 = 42,32 g
No terceiro ano:
Q3 = Q2 – 8% de Q2 = Q0 ∙ 0,922 – 8% de (Q0 ∙ 0,922) = Q0 ∙ 0,922
∙ 0,92 = Q0 ∙ 0,923
=
= 50 ∙ 0,923 = 38.93 g
E assim a regra segue, sendo que podemos determinar
uma fórmula geral, onde t indica o
tempo em anos:
Q = Q0 ∙ 0,92t → Q = 50 ∙
0,92t
Para Q = 5
g :
Q = 50 ∙
0,92t → 5 = 50 ∙ 0,92t
5 / 50 = 0,92t → 1 / 10 = 0,92t
→ 10–1 = 0,92t
log (10–1) = log (0,92t) → (–1) ∙ log (10) = t ∙ log (0,92) → –1 = t ∙ log (92 / 100) →
→ –1 = t
∙ [log (92) – log (100)] → –1 = t ∙ [log
(92) – log (102)] →
→ –1 = t
∙ [log (92) – 2 ∙ log (10)] → –1 = t
∙ [log (92) – 2] →
→ –1 = t
∙ [log (92) – 2] → –1 / [log (92) – 2] = t
→ –1 / [1,96 – 2] = t → t = 25 anos
Utilizando uma calculadora cientifica para determinar
o log (92) e utilizando todas as casas decimais disponibilizadas obtemos t = 27,6150... anos ≈ 28 anos.
Fonte:
IEZZI, Gerson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI,
Carlos. Fundamentos da Matemática Elementar – Volume 2: Logaritmos.
3º ed. São Paulo: Editora Atual, 1.997.
Exercício na Web: http://www.geometriamar.com.br/pdf/geometriamar_prof_marcelolopes_funcao_log_lista2_PreVest.pdf
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