O
seguinte arranjo de números é conhecido como triângulo de Pascal:
Sabe-se
que os números do triângulo de Pascal correspondem aos coeficientes do
desenvolvimento de (a + b)n,
segundo as potências decrescentes de a.
De
acordo com essas informações, o coeficiente do termo contendo os fatores x5y2 no desenvolvimento de (2x + y)7 é
(A)
672
(B)
480
(C)
240
(D)
32
(E)
21
Solução: (A)
Na
resolução utilizaremos também os conceitos do Binômio de Newton.
Para
continuar o triângulo de Pascal temos que observar que cada elemento do triângulo que não seja da primeira coluna da
esquerda e nem o último de cada linha é igual à soma daquele elemento
que está logo acima na mesma coluna com o elemento que se situa à esquerda
deste último.
Na primeira coluna a esquerda todos os elementos são iguais a
1, o mesmo ocorre com o ultimo elemento em casa linha que também deve ser igual
a 1.
Observe a Figura 1:
Para
construir o triângulo de Pascal é melhor montá-lo na forma de um triângulo isósceles.
Comece com “1” no topo, em seguida, coloque “1” e “1”, na segunda linha. Agora
devemos observar que a cada linha começa e termina com 1 e os elementos no meio
da linha são formados pelas somas dos números que estão logo acima.
Observe
a Figura 2 para entender melhor a construção:
 |
| Figura 2: Construção do Triângulo de Pascal. |
Segundo
o enunciado cada linha do triângulo de pascal corresponde aos coeficientes do
desenvolvimento de (a + b)n,
segundo as potências decrescentes de a,
conforme pode ser observado na Figura 3.
 |
| Figura 3: Relação entre cada linha do Triângulo de Pascal e os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)n . |
Por
exemplo, na terceira linha temos os coeficientes do desenvolvimento de (a + b)2,
ou seja, {1, 2, 1}, conforme podemos observar:
(a + b)2
= a2 + 2·a·b + b2 = 1·a2
+ 2·a·b + 1·b2
Na
Figura 3, notamos que para (a + b)7, os coeficientes são {1, 7,
21, 35, 35, 21, 7, 1}.
O
triângulo de Pascal gerou os coeficientes dos termos, agora o Binômio de Newton
gera a parte literal dos termos.
Na prática, para utilizar o Binômio de Newton, colocamos os temos a serem
desenvolvidos da seguinte forma: o primeiro termo elevado a potência maior (no
nosso caso 7) e o segundo termo elevado a zero; a cada nova parcela do
desenvolvimento o expoente do primeiro termo decresce em uma unidade, enquanto o
primeiro termo cresce em uma unidade.
Observe:
(a + b)7
= a7·b0 + 7·a6·b1 + 21·a5·b2
+ 35·a4·b3 + 35·a3·b4 + 21·a2·b5
+ 7·a1·b6 + a0·b7
(a + b)7
= a7 + 7·a6·b + 21·a5·b2 + 35·a4·b3
+ 35·a3·b4 + 21·a2·b5 + 7·a·b6
+ b7
O
enunciado pede para calcular o coeficiente que acompanha os fatores x5 · y2 no desenvolvimento de (2 · x + y)7, segundo
calculado acima, isto ocorre na terceira parcela: 21 · a5 · b2.
Se a = 2 · x e b = y, então:
21 · a5 · b2
= 21 · (2 · x)5 · y2 = 21 · 25 · x5 · y2 = 21 · 32 · x5
· y2 = 672 · x5 · y2
Então o coeficiente que acompanha os fatores x5 · y2 é 672.
***
Professor compartilhe sua criatividade!
|
Compartilhe esta ideia de divulgar a Matemática!
|
Comentários