Blog Mania de Matemática

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Mostrando postagens de junho, 2015

1 = -1

junho 29, 2015

A demonstração é devido a John Bernoulli, pode ser analisado como segue: Considerando que: 1 = –1 Então: (1) 2 = (–1) 2 1 = (–1) 2 Aplicando logaritmo neperiano: ln (1) = ln (–1) 2 Sabemos que ln (1) = 0: 0 = 2 · ln (–1) 0 = ln (–1) Segundo a definição do logaritmo neperiano ln = log e x, então 0 = ln (–1) ↔ e 0 = –1 Sabemos que e 0 = 1, portanto: e 0 = –1 → 1 = –1 q.e.d. ( quod erat demonstrandum ) * * * O mesmo argumento pode ser expresso da seguinte forma, onde x é um valor que satisfaz a equação: e x = –1 (e x ) 2 = (–1) 2 e 2· x = 1 e 2· x = e 0 2 · x = 0 → x = 0 Então e x = e 0 Entretanto e x = –1 e e 0 =1, então 1 = –1 q.e.d. ( quod erat demonstrandum ) Fonte: BALL, W.W. Rouse. Mathematical Recreations and Essays. 4° ed. London: Macmillan and Co., Limited New York: The Macmillan Company, 1.905. * * * Professor compartilhe sua criativ

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Estimativa: Cobrindo com Cédulas de R$ 1,00

junho 28, 2015

Já parou para pensar qual a área que pode ser coberta com um trilhão de cédulas de R$ 1,00? Dica: Qual a área de uma cédula de R$ 1,00? Resposta: Segundo o site do Banco Central (consulta realizada de 28/06/2,015) as dimensões de uma cédula de R$ 1,00 é de 65 milímetros de largura e 140 milímetros de comprimento, que em metros corresponde, respectivamente a 65∙10 –3 m (0,065 m) e 140∙10 –3 m (0,140 m). Podemos calcular a área (A cédula ) de uma cédula como sendo a área de um retângulo: A cédula = (65∙10 –3 m) ∙ (140∙10 –3 m) = 9,1∙10 –3 m 2 Então a área que pode ser coberta por um trilhão (1.000.000.000.000, ou seja, 10 12 ) é igual a: (10 12 cédulas) · (9,1∙10 –3 m 2 /folha) = 9,1∙10 9 m 2 Convertendo em quilômetros quadrados obtemos 9,1∙10 3 km 2 , ou seja, 91.000 km 2 . Para efeito de comparação a área do estado d o Rio de Janeiro (43.780,172 km 2 ) e do Espírito Santo (46.095,583 km 2 ) juntos é de aproximadamente 89.875,755 km 2 , e

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Estimativa: Empilhando Cédulas de R$ 1,00

junho 28, 2015

Oriundo da atual situação politico administrativa do nosso país, diariamente nos jornais e noticiários parecerem enormes valores monetários, mas o leitor já parou para pensar qual a magnitude de valores monetários da casa dos milhões, bilhões ou trilhões? Só para iniciar o assunto com uma pergunta: qual é a altura de uma pilha de um trilhão de cédulas de R$ 1,00? Dica: Qual a espessura é uma resma (500 folhas) de papel? Resposta: Para obter essa altura, precisamos estimar a espessura de uma cédula. Já de antemão aviso que não tem como fazer esta pilha, pois segundo o site do Banco Central apenas 149.026.088 cédulas de R$ 1,00 estão circulando atualmente nos pais (consulta realizada de 28/06/2,015) . Talvez você conheça a espessura de uma única cédula, ou vamos fazer de conta que não sabe. Quando não podemos facilmente calcular a espessura (ou massa, ou qualquer outra grandeza) de um único objeto, muitas vezes podemos facilmente estimar a espessura de um c

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Mendigar ou Trabalhar

junho 28, 2015

Poliedro realizando uma pesquisa de campo. O salário mínimo no Brasil é fixado em R$ 788,00 (setecentos e oitenta e oito reais) a partir de 1º de janeiro de 2.015, segundo o Decreto 8.381/2014, o valor diário do salário mínimo corresponderá a R$ 26,27 (vinte e seis reais e vinte e sete centavos) e o valor horário, a R$ 3,58 (três reais e cinquenta e oito centavos). Imagine um mendigo que pede esmola em algum sinal de trânsito de uma grande cidade. O sinal de transito alterna de vermelho para verde em média a cada 30 segundos (30 segundos no vermelho e 30 segundos no verde). Não vamos considerar o tempo que o sinal de transito permanece no amarelo. Então, a cada minuto o mendigo tem 30 segundos para faturar pelo menos R$ 0,05. Se 1 hora tem 60 minutos, temos 60 x R$ 0,05 = R$ 3,00. Observe que o mendigo pode conseguir 83,80% do valor horário trabalhado de uma pessoa que recebe um salário mínimo. Um trabalhador normalmente trabalha por 8 horas d

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Paradoxo: Menino ou Menina?

junho 26, 2015

Maria e João têm dois filhos. Seu primeiro filho é um menino chamado Jack. Qual é a probabilidade do casal ter dois filhos de sexos diferentes? Isto parece à primeira vista, uma questão ridiculamente simples. Se admitir que venha nascer um menino ou uma menina, e que o sexo do primeiro filho não interfere em nada com o sexo do próximo filho, então não há dúvida de que a probabilidade de que a segunda criança ser uma menina (portanto, não do mesmo sexo que o primeiro filho) é de 1 em 2. E essa é a resposta: 1 em 2. Simples, não? Mas agora vamos considerar outro casal, Josefina e José, que também tem duas e somente duas crianças. Sabemos que um deles é um menino, mas não sabemos se ele é seu filho mais velho ou mais novo. A pergunta é: qual é a probabilidade do sexo da outra criança deste casal ser de um menino ou de uma menina? Embalado pelos nossos raciocínio anterior, podemos prever a sua chance também de 1 em 2. E é isso? Só que não!! Surpreen

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A proposta do diabo

junho 22, 2015

O relato fictício seguinte mostra como não ter preguiça de raciocinar antes de aceitar uma proposta é importante para evitar problemas. Ponte sobre o rio Árda, na Bulgária. Fonte: http://www.vagabond.bg/ottomanbulgaria/gallery/album/Devil's%20Bridge/slides/20060501_2322-1.jpg Um rapaz muito preguiçoso desabafa: – Todo morador dessa cidade sempre diz: “Esta cidade não precisa de preguiçosos e vagabundos ... você está sempre no caminho atrapalhando a todos! Se continuar assim vai para o inferno falar com o diabo! ” – Mas será que o diabo pode me dizer algo para que melhore a minha situação? Tão logo o rapaz disse estas palavras o próprio diabo apareceu a sua frente. – Bem ... bem ... bem ... – disse o diabo – o que posso dizer a você é que tenho um trabalho para que execute, não se preocupes que é um trabalho simples e fácil ... e o melhor de tudo, você vai ficar muito rico . O preguiçoso com olhar curioso e interessado continua escutando as doces pa

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Ói, ói o Trem

junho 19, 2015

Um estudante e uma estudante acabaram de concluir algumas medições meteorológicas para uma pesquisa e estão descansando em uma colina. Um trem de carga que percorre uma estrada de ferro pelo vale, sua locomotiva fumegante ferozmente e bufando puxando um comboio por uma ligeira inclinação. Ao longo do leito da estrada de ferro o vento está soprando de forma constante, sem rajadas. " Qual a velocidade do vento que indica nossas medições? " – perguntou o moço. " Vinte quilômetros por hora ." – respondeu a moça. " Isso é o suficiente para que eu determine a velocidade do trem. " – afirmou o moço. " Como assim?! " – pergunta a moça com tom de dúvida. " Tudo que você tem a fazer é observar com um pouco mais de atenção o movimento do trem. " – responde o moço. A menina pensou um pouco e também percebeu que poderia determinar a velocidade do trem. O que os estudantes viram foi precisamente representado pelo a

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O peso de um Elefante é igual ao peso de um Rato?

junho 17, 2015

Se x é do peso de um elefante, e y é o peso de um rato, consideremos a soma dos dois pesos de 2 ∙ v , então, matematicamente: x + y = 2 ∙ v (I) Dessa equação, podemos obter mais duas equações x = 2 ∙ v – y (II) x – 2 ∙ v = – y (II) Multiplicando por x a equação (II) e por y a equação (III): x · x = (2 · v – y ) · x → x 2 = 2 · v · x – y · x → x 2 – 2 · v · x = – y · x ( x – 2 · v ) · y = – y · y → x · y – 2 · v · y = – y 2 → y 2 – 2 · v · y = – x · y Segundo estas equações – y · x = – x · y, então: x 2 – 2 · v · x = y 2 – 2 · v · y Somando v 2 em cada membro da igualdade: x 2 – 2 · v · x + v 2 = y 2 – 2 · v · y + v 2 ( x – v ) 2 = ( y – v ) 2 √( x – v ) 2 = √( y – v ) 2 x – v = y – v x = y Concluímos que o peso do elefante ( x )

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