Supremo Quadrado Mágico Pitagórico

O triângulo da Figura 1 é um triângulo retângulo, desta forma podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

 

Figura 1: Quadrado Mágico Pitagórico

Se você examinar a Figura 1 com o devido cuidado verá que temos três quadrados mágicos, onde as somas das linhas, colunas e diagonais são 45 para o cateto X, 60 para cateto Y e 75 para a hipotenusa.

Examinando com mais cuida o leitor pode notar que o Teorema de Pitágoras impera nas relações entre estes três quadrados mágicos.

Se elevarmos ao quadrado o valor de qualquer uma das células do quadrado mágico da hipotenusa o resultado é igual à soma dos quadrados dos valores das células correspondentes ao cateto X e ao cateto Y.

Por exemplo, para a célula A1, no quadrado mágico da hipotenusa A1 = 40; no cateto X, A1 = 24 e no cateto Y, A1 = 32, então:

40² = 24² + 32² → 1.600 = 576 + 1.024 → 1.600 = 1.600

Isto ocorre também com o qualquer soma dos valores que compões determinada linha, coluna ou diagonal, como foi dito anteriormente a soma dos valores são 45 para o cateto X, 60 para cateto Y e 75 para a hipotenusa, logo:

75² = 45² + 60² → 5.625 = 2.025 + 3.600 → 5.625 = 5.625

Da mesma forma se elevar ao quadrado a soma dos valores de duas células de qualquer linha, coluna ou diagonal do quadrado mágico da hipotenusa é igual ao quadrado da soma das respectivas células dos quadrados mágicos do cateto X e do cateto Y.

Por exemplo, para as células A1 e C3, no quadrado mágico da hipotenusa A1 = 40 e C3 = 10; no cateto X, A1 = 24 e C3 = 6 e no cateto Y, A1 = 32 e C3 = 8, então:

(40 + 10)² = (24 + 6)² + (32 + 8)² →

→ 50² = 30² + 40² → 2.500 = 900 + 1.600 → 2.500 = 2.500 (V)

Outro exemplo, para as células B1 e B2, no quadrado mágico da hipotenusa B1 = 5 e B2 = 25; no cateto X, B1 = 3 e B2 = 15 e no cateto Y, B1 = 4 e B2 = 20, então:

(5 + 25)² = (3 + 15)² + (4 + 20)² →

→ 30² = 18² + 24² → 900 = 324 + 576→ 900 = 900 (V)

Além disso, note que a soma de todos os valores do quadrado mágico do cateto X é 135, do cateto Y é 180 e da hipotenusa é 225, então aplicando o Teorema de Pitágoras:

225² = 135² + 180² → 50.625 = 18.225 + 32.400→ 50.625 = 50.625 (V)

 

Fonte: HEATH, Royal V. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback – June 1, 1953.