Deseja-se construir uma calçada contornando dois lados consecutivos de um jardim, cuja forma é retangular, conforme mostra a figura:
Sabe-se que o terreno de 12 m por 8 m é também retangular. Assim, se a área da calçada em torno do jardim for igual a 36 m², uma equação que permite determinar a medida x é
(A) x² – 20x + 36 = 0.
(B) x² + 16x – 96 = 0.
(C) x² – 15x + 60 = 0.
(D) 3x² –16x + 1 = 0.
(E) 3x² – 7x + 12 = 0.
Solução: (A)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Temos que determinar a medida x, que representa a largura da calçada.
O problema fornece uma figura com as dimensões do terreno, bem como a área da calçada (36 m2).
Se as dimensões do terreno são 8 m por 12 m então temos uma área de 96 m2 sendo que o jardim terá 60 m2 (96 m2 – 36 m2 = 60 m2).
Da figura observamos que as dimensões do jardim são: (8 – x) m e (12 – x) m.
2° – Estabelecimento de um Plano
Segundo o enunciado o jardim tem forma retangular podemos utilizar a fórmula da área do retângulo:
Aretângulo = (base) · (altura)
Como sabemos a medida da área do jardim e as suas dimensões podemos relacioná-las na equação:
60 = (8 – x) · (12 – x)
3° – Execução do Plano
Reorganizando a equação 60 = (8 – x) · (12 – x):
60 = (8 – x) · (12 – x) → 60 = 96 – 8 · x – 12 · x + x2
60 = 96 – 20 · x + x2
0 = – 60 + 96 – 20 · x + x2
0 = 36 – 20 · x + x2 → x2 – 20 · x + 60 = 0
4° – Avaliação
Podemos aplicar outras formas para resolver esta questão. Redesenhando a figura do enunciado e indicando os pontos em cada vértice obtemos a Figura 1.
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| Figura 1: Localização dos pontos auxiliares para a resolução. |
Observe que trançando o segmento FC obtemos dois trapézios: GFCD e EBFC (vide Figura 2), cuja soma das áreas é igual a 36 m2.
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| Figura 2: Segmento FC formando dos trapézios. |
ÁreaTrapézio = [(base maior) + (base menor)] · (altura) / 2
As bases do trapézio se referem ao lados paralelos.
No trapézio GFCD a base maior é o segmento CD de medida igual a 8, a base menor é o segmento GF de medida igual a (8 – x) e a altura é o segmento DG de medida igual a x. No trapézio EBFC a base maior é o segmento BC de medida igual a 12, a base menor é o segmento EF de medida igual a (12 – x) e a altura é o segmento DG de medida igual a x.
ÁreaGFCD + ÁreaEBFC = 36 m2
{[(8) + (8 – x)] · (x) / 2} + {[(12) + (12 – x)] · (x) / 2} = 36
{[16 – x] · (x) / 2} + {[24 – x] · (x) / 2} = 36
{[16 · x – x2] / 2} + {[24 · x – x2] / 2} = 36
{[40 · x – 2 · x2] / 2} = 36
20 · x – x2 = 36
20 · x – x2 – 36 = 0 → x2 – 20 · x + 36 = 0
A equação poderia ser encontrada realizando o seguinte procedimento: prolongar o seguimento EF até o segmento CD obtendo o ponto P1 e prolongando o segmento GF até o segmento BC obtendo o ponto P2. Para mais detalhes vide Figura 3.
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| Figura 3: Áreas dos retângulos. |
Desta forma teríamos três retângulos: DGFP1 com medidas de (8 – x) e x; CP1FP2 com medidas de x e x (ou seja, é um quadrado), e; FEBP2 com medidas de (12 – x) e x.
Sabemos que a soma das áreas destes três retângulos é 36 m2.
ÁreaDGFP1 + ÁreaCP1FP2 + ÁreaFEBP2 = 36 m2
{(8 – x) · x} + {x · x} + {(12 – x) · x} = 36
{8 · x – x2 } + { x2 } + {12 · x – x2 } = 36
8 · x – x2 + x2+ 12 · x – x2 = 36
– x2 + 20 · x – 36 = 0 → x2 – 20 · x + 36 = 0
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