Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 38 – Prova do Estado – (OFA) 2.014 – Professor de Educação Básica II

Deseja-se construir uma calçada contornando dois lados consecutivos de um jardim, cuja forma é retangular, conforme mostra a figura:


Sabe-se que o terreno de 12 m por 8 m é também retangular. Assim, se a área da calçada em torno do jardim for igual a 36 m², uma equação que permite determinar a medida x é

(A) x² – 20x + 36 = 0.
(B) x² + 16x – 96 = 0.
(C) x² – 15x + 60 = 0.
(D) 3x² –16x + 1 = 0.
(E) 3x² – 7x + 12 = 0.

Solução: (A)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Temos que determinar a medida x, que representa a largura da calçada.

O problema fornece uma figura com as dimensões do terreno, bem como a área da calçada (36 m2).

Se as dimensões do terreno são 8 m por 12 m então temos uma área de 96 m2 sendo que o jardim terá 60 m2 (96 m2 – 36 m2 = 60 m2).

Da figura observamos que as dimensões do jardim são: (8 – x) m e (12 – x) m.

2° – Estabelecimento de um Plano

Segundo o enunciado o jardim tem forma retangular podemos utilizar a fórmula da área do retângulo:

Aretângulo = (base) · (altura)

Como sabemos a medida da área do jardim e as suas dimensões podemos relacioná-las na equação:

60 = (8 – x) · (12 – x)
                                             
3° – Execução do Plano

Reorganizando a equação 60 = (8 – x) · (12 – x):

60 = (8 – x) · (12 – x) → 60 = 96 – 8 · x – 12 · x + x2

60 = 96 – 20 · x + x2
0 = – 60 + 96 – 20 · x + x2

0 = 36 – 20 · x + x2 → x2 – 20 · x + 60 = 0

4° – Avaliação

Podemos aplicar outras formas para resolver esta questão. Redesenhando a figura do enunciado e indicando os pontos em cada vértice obtemos a Figura 1.

Figura 1:  Localização dos pontos auxiliares para a resolução.

Observe que trançando o segmento FC obtemos dois trapézios: GFCD e EBFC (vide Figura 2), cuja soma das áreas é igual a 36 m2.

Figura 2:  Segmento FC formando dos trapézios.

ÁreaTrapézio = [(base maior) + (base menor)] · (altura) / 2

As bases do trapézio se referem ao lados paralelos.

No trapézio GFCD a base maior é o segmento CD de medida igual a 8, a base menor é o segmento GF de medida igual a (8 – x) e a altura é o segmento DG de medida igual a x. No trapézio EBFC a base maior é o segmento BC de medida igual a 12, a base menor é o segmento EF de medida igual a (12 – x) e a altura é o segmento DG de medida igual a x.

ÁreaGFCD + ÁreaEBFC = 36 m2

{[(8) + (8 – x)] · (x) / 2} + {[(12) + (12 – x)] · (x) / 2} = 36

{[16 – x] · (x) / 2} + {[24 – x] · (x) / 2} = 36

{[16 · x – x2] / 2} + {[24 · x – x2] / 2} = 36

{[40 · x – 2 · x2] / 2} = 36

20 · x – x2 = 36

20 · x – x2 – 36 = 0 → x– 20 · x + 36 = 0

A equação poderia ser encontrada realizando o seguinte procedimento: prolongar o seguimento EF até o segmento CD obtendo o ponto P1 e prolongando o segmento GF até o segmento BC obtendo o ponto P2. Para mais detalhes vide Figura 3.

Figura 3:  Áreas dos retângulos.

Desta forma teríamos três retângulos: DGFP1 com medidas de (8 – x) e x; CP1FP2 com medidas de x e x (ou seja, é um quadrado), e; FEBP2 com medidas de (12 – x) e x.

Sabemos que a soma das áreas destes três retângulos é 36 m2.

ÁreaDGFP1 + ÁreaCP1FP2 + ÁreaFEBP2 = 36 m2

{(8 – x) · x} + {x · x} + {(12 – x) · x} = 36

{8 · x – x2 } + { x2 } + {12 · x – x2 } = 36

8 · x – x2 + x2+ 12 · x – x2 = 36

– x2 + 20 · x – 36 = 0 → x– 20 · x + 36 = 0
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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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