Questão 30 – Concurso SEE/SP (FGV) – 2.013 – Professor de Educação Básica II – Matemática

Ao conjunto {2, 5, 9, 11, 14, 15} é acrescentado um sétimo número inteiro N, diferente daqueles já existentes, de tal modo que o novo conjunto de números a média e a media são iguais.

A soma dos possíveis valores de N é:

(A) 25.

(B) 28.

(C) 35.

(D) 38.

(E) 45.

Obs: Caderno de Prova Tipo 2 – Cor Verde

Solução: (B)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° – Compreensão do Problema

Nesta questão temos que determinar os possíveis valores de N para que a média (X) e a mediana (M) sejam iguais e que N seja diferente dos números do conjunto {2, 5, 9, 11, 14, 15}.

Mediana é o valor que ocupa a posição central, quando os valores dos dados são ordenados de forma crescente ou decrescente. Segundo o enunciado acrescentando o valor de N temos sete elementos no conjunto, assim a mediana é o valor do número que ocupa a quarta posição.

2° – Estabelecimento de um Plano

Conforme o enunciado, temos três possíveis medianas dependendo da posição de N no conjunto: (i) mediana igual a 9, para N < 9 e N ≠ {2, 5}; (ii) mediana igual a 10, para 9 < N < 11, e; mediana igual a 11 para N > 11 e N ≠ {14, 15}.

A média dos valores deste conjunto é obtida por meio da fórmula:

X = (2 + 5 + 9 + 11 + 14 + 15 + N) / 7 = (56 + N) / 7

Neste caso devemos igualar a media para cada possível valor da mediana e analisar os resultados de N para realizar a soma dos valores de N que satisfazem o enunciado.

3° – Execução do Plano

X = M

(i) para M = 9:

(56 + N) / 7 = 9 → 56 + N = 63 → N = 7

(ii) para M = 10:

(56 + N) / 7 = 10 → 56 + N = 70 → N = 14

(iii) para M = 11:

(56 + N) / 7 = 11 → 56 + N = 77 → N = 21

Assim os valores de N que satisfazem o enunciado são: 7 e 21.

A soma dos possíveis valores de N é 7 + 21 = 28.

4° – Avaliação

Os resultados obtidos satisfazem o enunciado.