O primeiro termo de uma sequência
é 2013. A partir do segundo termo, cada termo dessa sequência é a soma dos quadrados
dos algarismos do termo anterior.
Por exemplo, o segundo termo é 22
+ 02 + 12 + 32 = 14.
O 2013º termo dessa sequência é
(A) 13.
(B) 14.
(C) 15.
(D) 16.
(E) 17.
Obs: Caderno de Prova Tipo 2 – Cor Verde
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução
de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Podemos classificar as questões
envolvendo seqüências em três tipos:
(S1) quando o enunciado
da questão apresenta uma seqüência grande com vários números e apresenta
perguntas do tipo: “determine ou encontre o 100º número da seqüência”. Nestes
casos a resolução é por meio de progressões (aritmética ou geométrica).
Exemplo: Encontre o 125° número
da sequência: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3,
4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, ... . Neste
caso você terá que utilizar os conceitos de P.A. (progressão aritmética), pois,
notem, que a quantidade de número da sequência aumenta em 2 sempre que
volta ao número 1:
1,
2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, ...
1, 2,
|
1, 2, 3, 2,
|
1, 2, 3, 4, 3, 2,
|
1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2,
|
1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2,
|
1, 2, ...
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
...
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(S2) quando o enunciado da questão apresenta seqüência do tipo, “quantos
números podemos escrever utilizando 680 algarismos. Nesse caso, temos que
realizar a contagem por quantidade de algarismos que forma cada número.
Exemplo: de 1 a 9 – 1 algarismo; de 10 a 99 – 2 algarismos, e por aí vai ...
(S3) quando o enunciado
da questão apresenta apenas um termo e a regra para encontrarmos os próximos
números. Estes tipos de seqüências sempre
farão um “loop”, ou seja, depois de alguns números encontrados, a seqüência se
repete.
Neste caso podemos determinar o
número procurado dividindo a posição do número com a quantidade de termos do “loop”
e analisando o resultado obtido no quociente e no resto, utilizando os
conceitos de aritmética modular.
2° – Estabelecimento de um Plano
Da análise inicial temos que a
questão trata-se de uma sequência do tipo S3.
Portanto o primeiro passo é determinar
em qual ponto ocorre o “loop”. Depois dividir 2.013 pelo número de elementos da sequência antes do “loop” e analisar o resultado do quociente e do resto.
O
único problema nessa questão é que essa sequência pode demorar para acontecer o
“loop”.
3° – Execução do Plano
Determinando o “loop”:
1º termo: 2013;
2º termo: 22 + 02
+ 12 + 32 = 14;
3º termo: 12 + 42
= 17;
4º termo: 12 + 72
= 50;
5º termo: 52 + 02
= 25;
6º termo: 22 + 52
= 29;
7º termo: 22 + 92
= 85;
8º termo: 82 + 52
= 89;
9º termo: 82 + 92
= 145; (será que falta muito?)
10º termo: 12 + 42
+ 52 = 42;
11º termo: 42 + 22
= 20;
12º termo: 22 + 02
= 4;
13º termo: 42 = 16;
14º termo: 12 + 62
= 37;
15º termo: 32 + 72
= 58;
16º termo: 52 + 82
= 89; (ufa ... repetiu ... ocorre o “loop”)
(...)
O 16º termo é o mesmo que o 8º
termo!
Agora, o primeiro pulo do gato: o
15º termo é 58 e o 8º é 85. São diferentes? Sim e não! Sim, porque (lógico!)
são números diferentes. Porém, são iguais quando se trata na condição do
enunciado para gerar o próximo número: 82 + 52 = 52
+ 82 = 89. Um detalhe importante: o numero 85 não aparecerá mais
nesta sequência.
A partir deste ponto o “loop”
ocorre sempre que aparecer o número 58 na sequência, teremos sempre a repetição
de {58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37}.
O segundo pulo do gato é que da
mesma forma que o número 58, os seis primeiros números da sequência {2013, 14,
17, 50, 25, 29} não ocorrem mais nesta sequência.
Para encontrar o 2.013° número da sequência temos que desconsiderar estes seis primeiros números, ou seja, é como
se o enunciado fosse para determinar o 2.007° termo de uma sequência cujo o
primeiro termo é 85 e que a partir do segundo termo, cada termo dessa sequência
é a soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior.
Teríamos então: 85, 89, 145, 42, 20,
4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, ... . Logo a sequência é formada por
8 números e a partir do 9º ocorre a repetição ou “loop”!
Dividindo 2007 por 8 obtemos 250
e resto 7. Portanto temos 250 repetições da sequência e mais sete termos da sequência.
Logo o 2007º termo é igual ao sétimo termo de {58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37},
logo o 2.013° é 16.
4° – Avaliação
Para a resolução desta questão é
necessário observar qual tipo de sequência que temos, e principalmente notar
que a os seis primeiros termos da sequência não aparecem novamente na sequência.
Este fato obriga-nos a rever o enunciado
do problema considerando neste ponto que devemos obter o 2.007° termo de uma sequência
que se inicia com o número 85 e mantendo as demais condições do enunciado.
Esta questão foi baseada na
resolução de uma questão semelhante apresentada no blog “Beijo no papai e namamãe...”.
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Viva a democracia!