Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 09 – Concurso SEE/SP (FGV) – 2.013 – Professor de Educação Básica II – Matemática

O primeiro termo de uma sequência é 2013. A partir do segundo termo, cada termo dessa sequência é a soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior.
Por exemplo, o segundo termo é 22 + 02 + 12 + 32 = 14.
O 2013º termo dessa sequência é

(A) 13.
(B) 14.
(C) 15.
(D) 16.
(E) 17. 

Obs: Caderno de Prova Tipo 2 – Cor Verde

Solução: (D) 

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya: 

1° – Compreensão do Problema 

Podemos classificar as questões envolvendo seqüências em três tipos:

(S1) quando o enunciado da questão apresenta uma seqüência grande com vários números e apresenta perguntas do tipo: “determine ou encontre o 100º número da seqüência”. Nestes casos a resolução é por meio de progressões (aritmética ou geométrica).

Exemplo: Encontre o 125° número da sequência:  1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, ... . Neste caso você terá que utilizar os conceitos de P.A. (progressão aritmética), pois, notem, que a quantidade de número da sequência aumenta em 2 sempre que volta ao número 1:


1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 2, ...



1, 2,
1, 2, 3, 2,
1, 2, 3, 4, 3, 2,
1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2,
1, 2, ...
2
4
6
8
10
...










(S2) quando o enunciado da questão apresenta seqüência do tipo, “quantos números podemos escrever utilizando 680 algarismos. Nesse caso, temos que realizar a contagem por quantidade de algarismos que forma cada número. Exemplo: de 1 a 9 – 1 algarismo; de 10 a 99 – 2 algarismos, e por aí vai ...

(S3) quando o enunciado da questão apresenta apenas um termo e a regra para encontrarmos os próximos números. Estes tipos de seqüências  sempre farão um “loop”, ou seja, depois de alguns números encontrados, a seqüência se repete.

Neste caso podemos determinar o número procurado dividindo a posição do número com a quantidade de termos do “loop” e analisando o resultado obtido no quociente e no resto, utilizando os conceitos de aritmética modular. 

2° – Estabelecimento de um Plano 

Da análise inicial temos que a questão trata-se de uma sequência do tipo S3.

Portanto o primeiro passo é determinar em qual ponto ocorre o “loop”. Depois dividir 2.013 pelo número de elementos da sequência antes do “loop” e analisar o resultado do quociente e do resto.

O único problema nessa questão é que essa sequência pode demorar para acontecer o “loop”. 

3° – Execução do Plano 

Determinando o “loop”:

1º termo: 2013;
2º termo: 22 + 02 + 12 + 32 = 14;
3º termo: 12 + 42 = 17;
4º termo: 12 + 72 = 50;
5º termo: 52 + 02 = 25;
6º termo: 22 + 52 = 29;
7º termo: 22 + 92 = 85;
8º termo: 82 + 52 = 89;
9º termo: 82 + 92 = 145; (será que falta muito?)
10º termo: 12 + 42 + 52 = 42;
11º termo: 42 + 22 = 20;
12º termo: 22 + 02 = 4;
13º termo: 42 = 16;
14º termo: 12 + 62 = 37;
15º termo: 32 + 72 = 58;
16º termo: 52 + 82 = 89; (ufa ... repetiu ... ocorre o “loop”)
(...)

O 16º termo é o mesmo que o 8º termo!

Agora, o primeiro pulo do gato: o 15º termo é 58 e o 8º é 85. São diferentes? Sim e não! Sim, porque (lógico!) são números diferentes. Porém, são iguais quando se trata na condição do enunciado para gerar o próximo número: 82 + 52 = 52 + 82 = 89. Um detalhe importante: o numero 85 não aparecerá mais nesta sequência.

A partir deste ponto o “loop” ocorre sempre que aparecer o número 58 na sequência, teremos sempre a repetição de {58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37}.

O segundo pulo do gato é que da mesma forma que o número 58, os seis primeiros números da sequência {2013, 14, 17, 50, 25, 29} não ocorrem mais nesta sequência.

Para encontrar o 2.013° número da sequência temos que desconsiderar estes seis primeiros números, ou seja, é como se o enunciado fosse para determinar o 2.007° termo de uma sequência cujo o primeiro termo é 85 e que a partir do segundo termo, cada termo dessa sequência é a soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior.

Teríamos então: 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, ... . Logo a sequência é formada por 8 números e a partir do 9º ocorre a repetição ou “loop”!

Dividindo 2007 por 8 obtemos 250 e resto 7. Portanto temos 250 repetições da sequência e mais sete termos da sequência. Logo o 2007º termo é igual ao sétimo termo de {58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37}, logo o 2.013° é 16. 

4° – Avaliação 

Para a resolução desta questão é necessário observar qual tipo de sequência que temos, e principalmente notar que a os seis primeiros termos da sequência não aparecem novamente na sequência.

Este fato obriga-nos a rever o enunciado do problema considerando neste ponto que devemos obter o 2.007° termo de uma sequência que se inicia com o número 85 e mantendo as demais condições do enunciado.

Esta questão foi baseada na resolução de uma questão semelhante apresentada no blog “Beijo no papai e namamãe...”.
4 comentários

Latex Editor (Equações Matemáticas)

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