Lista de Exercícios Preparatória para o Profmat

janeiro 28, 2011

Um cientista tirou duas medidas das grandezas x e y, obtendo os pares (x₁, y₁) = (3, 1) e (x₂, y₂) = (4, 3). Pela teoria, essas grandezas deveriam ser proporcionais, isto é, deveria existir “a” tal que y = a . x , mas isso não ocorreu no experimento. Como ele acha que foi por causa dos erros experimentais, então achou “a” que dá o menor valor possível para (y₁ – a . x₁)² + (y₂ – a . x₂)². O valor de a que o cientista encontrou foi:

(A) 3 / 5

(B) 2 / 3

(C) 2 / 5

(D) 3 / 4

(E) 4 / 7

Solução: (A)

(y₁ – a . x₁)² + (y₂ – a . x₂)² = (1 – a . 3)² + (3 – a . 4)² =

= (1 – 6 . a + 9 . a²) + (9 – 24 . a + 16 . a²) = 1 – 6 . a + 9 . a² + 9 – 24 . a + 16 . a² =

= 10 – 30 . a + 25 . a² = 2 – 6 . a + 5 . a²

Temos uma equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola, e como a > 0, a concavidade desta parábola é voltada para cima. Como a esta multiplicando x₁ e x₂, devemos calcular o x no vértice, pois neste local temos o valor mínimo desta equação:

x_v = – b / (2 . a) = – (– 6) / (2 . 5) = 6 / 10 = 3 / 5

Disponível em <http://www.profmat-sbm.org.br/default.asp>. Acessado em: 27 de janeiro de 2.011.