Processo Seletivo: Curso Técnico
Ano: 1º semestre de 2.017
Órgão: SENAI
Prova: CGE 2131
Um triângulo retângulo semelhante ao triângulo $3 \; \times \; 4 \; \times \; 5$ foi ampliado na razão 5, ficando com área igual a 2400 cm2. Quais eram as medidas, em cm, desse triângulo antes da ampliação?
a. $2,4 \; \times \; 3,2 \; \times \; 4$.
b. $8 \; \times \; 12 \; \times \; 15$.
c. $12 \; \times \; 16 \; \times \; 20$.
d. $24 \; \times \; 40 \; \times \; 50$.
e. $60 \; \times \; 80 \; \times \; 100$.
Solução: (c)
O enunciado apresenta dados sobre três triângulos, observe a Figura 1, onde o triângulo $T_{2}$ é aquele que estamos determinando suas medidas.
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| Figura 1: Os triângulos citados no enunciado. |
Dados dois triângulos semelhantes, com razão de semelhança $k$, temos:
$\frac{A_{\mathrm{maior}}}{A_{\mathrm{menor}}}=k^{2}$
Desta forma temos:
$\frac{A_{T_{3}}}{A_{T_{2}}}=5^{2}\rightarrow \frac{2.400}{A_{T_{2}}}=25$
$A_{T_{2}}=\frac{2.400}{25}=96$
Então $T_{2}$ tem uma área de $96\; \mathrm{cm^{2}}$.
Agora realizaremos o mesmo procedimento entre o $T_{1}$ e $T_{2}$ para obter a razão de semelhança $k_{1}$ entre eles:
$A_{T_{1}}=\frac{\mathrm{base}\times \mathrm{altura}}{2}=\frac{3\times 4}{2}=\frac{12}{2}=6\; \mathrm{cm^{2}}$
$\frac{A_{T_{2}}}{A_{T_{1}}}=k_{1}^{2}\rightarrow k_{1}^{2}=\frac{96}{6}=16$
$k_{1}=\sqrt{16}=4$
Podemos concluir que para obter $T_{2}$, os lados do triângulo $T_{1}$ devem ser multiplicados por $4$, logo os lados do triângulo $T_{2}$ apresentam as medidas: $12 \; \times \; 16 \; \times \; 20$.
Outra forma de se resolver esta questão está na relacionada a área do triângulo $T_{2}$:
$A_{T_{2}}=\frac{\mathrm{base}\times \mathrm{altura}}{2}=\frac{5\cdot b \times 5\cdot c}{2}=\frac{25 \cdot b \cdot c}{2}$
Conforme o enunciado $A_{T_{2}}=2.400 \; \mathrm{cm^{2}}$, emtão
$2.400=\frac{25 \cdot b \cdot c}{2}$
$2.400 \; \cdot \; 2 = 25 \cdot b \cdot c$
$4.800=25 \cdot b \cdot c$
$b \cdot c=\frac{4.800}{25}=192$
Neste ponto podemos ter descobrir qual é a alternativa correta, observe que temos $b \cdot c=192$ e que $b$ e $c$ são os catetos do triângulo, ou seja, as medidas menores indicadas em cada alternativa, então devemos olhar nas alternativas aquela em que o produto dos valores menores é igual a 192, observe:
a. $2,4 \; \times \; 3,2 \; \times \; 4 \rightarrow 2,4 \times 3,2=7,68$.
b. $8 \; \times \; 12 \; \times \; 15 \rightarrow 8 \times 12=96$.
c. $12 \; \times \; 16 \; \times \; 20 \rightarrow 12 \times 16=192$ Correta.
d. $24 \; \times \; 40 \; \times \; 50 \rightarrow 24 \times 40=960$.
e. $60 \; \times \; 80 \; \times \; 100 \rightarrow 60\times 80=4.800$.
Se o triângulo $T_{1}$ é semelhante ao triângulo $T_{2}$ e sendo o triângulo $T_{2}$ é semelhante ao triângulo $T_{3}$, então devido as propriedades da semelhança de triângulo podemos concluir que o triângulo $T_{1}$ é semelhante ao triângulo $T_{3}$.
Aplicando a propriedade dos triângulos semelhante que trata da razão de lados correspondente no triângulo $T_{1}$ em relação ao triângulo $T_{3}$ temos:
$\frac{5\cdot b}{3}=\frac{5\cdot c}{4}$
$5\cdot b \cdot 4=5\cdot c \cdot 3$
$4\cdot b =3\cdot c$
Sabemos que $b \cdot c=\frac{4.800}{25}=192$, logo $c=\frac{192}{b}$
$4\cdot b =3\cdot \left (\frac{192}{b} \right)$
$4\cdot b =\frac{576}{b}$
$b\cdot b =\frac{576}{4}$
$b^{2}=144$
$b=\sqrt{144}$
$b=12$
Se $b=12$, então a alternativa (C) está correta.
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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