Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas.


A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas.


O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações.


Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra, Geometria Analítica, Funções e Trigonometria.



Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas.


Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sempre bom estar preparado.�…

Questão 31 - Processo Seletivo - Senai - 2.017

Processo Seletivo: Curso Técnico
Ano: 1º semestre de 2.017
Órgão: SENAI
Prova: CGE 2131



Um triângulo retângulo semelhante ao triângulo $3 \; \times \; 4 \; \times \; 5$ foi ampliado na razão 5, ficando com área igual a 2400 cm2. Quais eram as medidas, em cm, desse triângulo antes da ampliação?


a. $2,4 \; \times \; 3,2 \; \times \; 4$.

b. $8 \; \times \; 12 \; \times \; 15$.

c. $12 \; \times \; 16 \; \times \; 20$.

d. $24 \; \times \; 40 \; \times \; 50$.

e. $60 \; \times \; 80 \; \times \; 100$.



Solução: (c)



O enunciado apresenta dados sobre três triângulos, observe a Figura 1, onde o triângulo $T_{2}$ é aquele que estamos determinando suas medidas.


Figura 1: Os triângulos citados no enunciado.


Dados dois triângulos semelhantes, com razão de semelhança $k$, temos:


$\frac{A_{\mathrm{maior}}}{A_{\mathrm{menor}}}=k^{2}$


Desta forma temos:


$\frac{A_{T_{3}}}{A_{T_{2}}}=5^{2}\rightarrow \frac{2.400}{A_{T_{2}}}=25$


$A_{T_{2}}=\frac{2.400}{25}=96$


Então $T_{2}$ tem uma área de $96\; \mathrm{cm^{2}}$.


Agora realizaremos o mesmo procedimento entre o $T_{1}$ e $T_{2}$ para obter a razão de semelhança $k_{1}$ entre eles:


$A_{T_{1}}=\frac{\mathrm{base}\times \mathrm{altura}}{2}=\frac{3\times 4}{2}=\frac{12}{2}=6\; \mathrm{cm^{2}}$


$\frac{A_{T_{2}}}{A_{T_{1}}}=k_{1}^{2}\rightarrow k_{1}^{2}=\frac{96}{6}=16$


$k_{1}=\sqrt{16}=4$


Podemos concluir que para obter $T_{2}$, os lados do triângulo $T_{1}$ devem ser multiplicados por $4$, logo os lados do triângulo $T_{2}$ apresentam as medidas: $12 \; \times \; 16 \; \times \; 20$.


Outra forma de se resolver esta questão está na relacionada a área do triângulo $T_{2}$:


$A_{T_{2}}=\frac{\mathrm{base}\times \mathrm{altura}}{2}=\frac{5\cdot b \times 5\cdot c}{2}=\frac{25 \cdot b \cdot c}{2}$


Conforme o enunciado $A_{T_{2}}=2.400 \; \mathrm{cm^{2}}$, emtão


$2.400=\frac{25 \cdot b \cdot c}{2}$


$2.400 \; \cdot \; 2 = 25 \cdot b \cdot c$


$4.800=25 \cdot b \cdot c$


$b \cdot c=\frac{4.800}{25}=192$







Neste ponto podemos ter descobrir qual é a alternativa correta, observe que temos $b \cdot c=192$ e que $b$ e $c$ são os catetos do triângulo, ou seja, as medidas menores indicadas em cada alternativa, então devemos olhar nas alternativas aquela em que o produto dos valores menores é igual a 192, observe:


a. $2,4 \; \times \; 3,2 \; \times \; 4 \rightarrow 2,4 \times 3,2=7,68$.

b. $8 \; \times \; 12 \; \times \; 15 \rightarrow 8 \times 12=96$.

c. $12 \; \times \; 16 \; \times \; 20 \rightarrow 12 \times 16=192$ Correta.

d. $24 \; \times \; 40 \; \times \; 50 \rightarrow 24 \times 40=960$.

e. $60 \; \times \; 80 \; \times \; 100 \rightarrow 60\times 80=4.800$.







Se o triângulo $T_{1}$ é semelhante ao triângulo $T_{2}$ e sendo o triângulo $T_{2}$ é semelhante ao triângulo $T_{3}$, então devido as propriedades da semelhança de triângulo podemos concluir que o triângulo $T_{1}$ é semelhante ao triângulo $T_{3}$.


Aplicando a propriedade dos triângulos semelhante que trata da razão de lados correspondente no triângulo $T_{1}$ em relação ao triângulo $T_{3}$ temos:


$\frac{5\cdot b}{3}=\frac{5\cdot c}{4}$


$5\cdot b \cdot 4=5\cdot c \cdot 3$


$4\cdot b =3\cdot c$


Sabemos que $b \cdot c=\frac{4.800}{25}=192$, logo $c=\frac{192}{b}$


$4\cdot b =3\cdot \left (\frac{192}{b} \right)$


$4\cdot b =\frac{576}{b}$


$b\cdot b =\frac{576}{4}$


$b^{2}=144$


$b=\sqrt{144}$


$b=12$


Se $b=12$, então a alternativa (C) está correta.










***

Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!







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Latex Editor (Equações Matemáticas)

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