Questão 30 - Processo Seletivo - Senai - 2.017

Processo Seletivo: Curso Técnico

Ano: 1º semestre de 2.017

Órgão: SENAI

Prova: CGE 2131

Fonte: Provas Anteriores Senai

Durante as Olimpíadas Internas de Matemática da “Escola Amo Estudar”, os alunos precisavam simplificar a seguinte expressão algébrica.

$\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}$

Qual expressão representa corretamente essa simplificação?

a. $\frac{-4x+4}{-4}$.

b. $x+4$.

c. $\frac{x-2}{x+2}$.

d. $\frac{x+2}{x-2}$.

e. $-4x-1$.

Solução: (c)

No numerador e no denominador temos um polinômio do segundo grau. Todo polinôminio do segundo grau na forma $a \cdot x^{2}+b \cdot x + c$ pode ser representado na forma fatorada $a \cdot \left ( x-x_{1} \right ) \cdot \left ( x-x_{2} \right) $ onde $x_{1}$ e $x_{2}$ são raízes do polnômio.

1. passando o numerador $x^{2}-4x+4$ na forma fatorada:

Encontrando as raízes:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}=\frac{-\left ( -4 \right )\pm \sqrt{\left ( -4 \right )^{2}-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}=\frac{4\pm \sqrt{16-16}}{2}=\frac{4\pm 0}{2}$

$x=\frac{4\pm 0}{2}\rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{4-0}{2}=2\\ x_{2}=\frac{4+0}{2}=2 \end{matrix}\right.$

Então $x^{2}-4x+4\rightarrow \left ( x-2 \right )\cdot \left ( x-2 \right )$

2. passando o denominador $x^{2}-4$ na forma fatorada:

Encontrando as raízes:

$x^{2}-4=0\rightarrow x^{2}=4\rightarrow x=\pm \sqrt{4}$

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=-\sqrt{4}=-2\\ x_{2}=\sqrt{4}=2 \end{matrix}\right.$

Então $x^{2}-4\rightarrow \left ( x+2 \right )\cdot \left ( x-2 \right )$

Desta forma temos:

$\frac{x^{2}-4x+4}{x^{2}-4}=\frac{\left ( x-2 \right )\cdot \left ( x-2 \right )}{\left ( x+2 \right )\cdot \left ( x-2 \right )}=\frac{x-2}{x+2}$

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!