leia o texto para responder às questões de números 26 e 27.
O PORQUÊ DAS COISAS
Para certos povos primitivos o trovão, por exemplo, é uma reação de descontentamento dos deuses contra atos praticados pelos homens. Para superar esses temores, homens dotados de curiosidade intelectual procuraram e procuram, até hoje, descrever o mundo e explicar como ele funciona, passando de especulações baseadas apenas na experiência e na observação da realidade para a etapa da abstração, não se contentando apenas com o como mas pensando também no porquê. Esta é a origem da ciência.
Tales, um rico comerciante grego da Antiguidade e também uma pessoa muito curiosa, é considerado o criador da ciência da maneira como a entendemos hoje e, a ele, são creditadas as primeiras demonstrações sistemáticas em geometria, como
- todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto;
- qualquer diâmetro divide uma circunferência em duas partes iguais;
- ângulos opostos pelo vértice são congruentes;
- se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um desses triângulos são, respectivamente, iguais a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes.
Questão 26
Na figura, tem-se o triângulo $\textrm{ABC}$ que está inscrito em uma semicircunferência de centro $\textrm{O}$. Se a medida do ângulo $\textrm{C}\widehat{\textrm{A}}\textrm{B}$ é $x^{\circ}$, e a medida do ângulo $\textrm{A}\widehat{\textrm{B}}\textrm{C}$ é $\frac{2}{3}x^{\circ}$, então o valor de $x$ é
(A) 54.
(B) 58.
(C) 60.
(D) 72.
(E) 75.
Solução: (A)
Na Figura 26.1 temos os dados do enunciado.
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| Figura 26.1: Imagem do enunciado com os demais dados apresentados. |
Conforme o texto temos que "todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto", ou seja, $\textrm{A}\widehat{\textrm{C}}\textrm{B}=90^{\circ}$.
imagem
A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, ou seja:
$x^{\circ}+\frac{2}{3}\; x^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
$x^{\circ}+\frac{2}{3}\; x^{\circ}=90^{\circ}$
$\frac{5}{3}\; x^{\circ}=90^{\circ}$
$x^{\circ}=\frac{90^{\circ} \; \cdot \; 3}{5}=\frac{270^{\circ}}{3}=54^{\circ}$
Desta forma o ângulo $x$ é igual a $54$.
Referência de Estudo
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Disciplina
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Série / Ano
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Bimestre
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| Matemática |
| Conteúdo: Geometria. |
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6ª / 7°
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2°
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| Matemática |
| Conteúdo: Números. |
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6ª / 7°
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4°
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| Matemática |
| Conteúdo: Números / Relações. |
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7ª / 8°
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3°
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Questão 27
Na figura, os segmentos $\overline{\textrm{AC}}$ e $\overline{\textrm{BD}}$ interceptam-se no ponto $\textrm{E}$.
Além disso,
• as medidas dos ângulos $\textrm{D}\widehat{\textrm{A}}\textrm{E}$ e $\textrm{B}\widehat{\textrm{C}}\textrm{E}$ são iguais;
• os segmentos $\overline{\textrm{DE}}$ e $\overline{\textrm{EB}}$ são congruentes;
• $\overline{\textrm{AE}}=13$
• $\overline{\textrm{AD}}=18$
• $\overline{\textrm{DE}}=16$
• $\overline{\textrm{EC}}=2x+1$
• $\overline{\textrm{BC}}=5y-2$
Nessas condições, o valor de $x + y$ é
(A) 6.
(B) 10.
(C) 16.
(D) 20.
(E) 24.
Solução: (B)
Na Figura 27.1 temos os dados do enunciado.
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Figura 27.1: Imagem do enunciado com os demais dados apresentados.
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Observe que temos $\epsilon= \epsilon_{1}$, pois são ângulos opostos pelo vértice $\textrm{E}$.
Podemos considerar dois triângulos: o triângulo $\textrm{AED}$ e o triângulo $\textrm{CEB}$. Estes triânulos são inicilamente semelhantes, vide Figura 2.
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Figura 27.2: indicação dos lados correspondentes aos triângulos
semelhantes e congruentes $\textrm{AED}$ e $\textrm{CEB}$.. |
Outro fato importante é que $\overline{\textrm{DE}}=\overline{\textrm{EB}}$, este fato permite concluir que os triângulos são congruentes (iguais). Desta forma temos:
• $\overline{\textrm{DE}}=\overline{\textrm{EB}}$
• $\overline{\textrm{AD}}=\overline{\textrm{BC}}$
• $\overline{\textrm{AE}}=\overline{\textrm{EC}}$
Calculando o valor de $y$:
$\overline{\textrm{AD}}=\overline{\textrm{BC}}$
$18=5y-2$
$18+2=5y$
$20=5y$
$y=\frac{20}{5}=4$
Calculando o valor de $x$:
$\overline{\textrm{AE}}=\overline{\textrm{EC}}$
$13=2x+1$
$13-1=2x$
$12=2x$
$x=\frac{12}{2}=6$
Calculando o valor de $x+y$:
$x+y=6+4=10$
Desta forma a soma de $x$ e $y$ é igual a $10$.
Referência de Estudo
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Disciplina
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Série / Ano
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Bimestre
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| Matemática |
| Conteúdo: Geometria. |
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6ª / 7°
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2°
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| Matemática |
| Conteúdo: Números. |
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6ª / 7°
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4°
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| Matemática |
| Conteúdo: Números / Relações. |
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7ª / 8°
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3°
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| Matemática |
| Conteúdo: Geometria / Relações. |
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8ª / 9°
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3°
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