Questão 26 e Questão 27 – Vestibulinho Etec (1° prova) – Centro Paula Souza – 2° Semestre de 2.009

leia o texto para responder às questões de números 26 e 27.

O PORQUÊ DAS COISAS

Para certos povos primitivos o trovão, por exemplo, é uma reação de descontentamento dos deuses contra atos praticados pelos homens. Para superar esses temores, homens dotados de curiosidade intelectual procuraram e procuram, até hoje, descrever o mundo e explicar como ele funciona, passando de especulações baseadas apenas na experiência e na observação da realidade para a etapa da abstração, não se contentando apenas com o como mas pensando também no porquê. Esta é a origem da ciência.

Tales, um rico comerciante grego da Antiguidade e também uma pessoa muito curiosa, é considerado o criador da ciência da maneira como a entendemos hoje e, a ele, são creditadas as primeiras demonstrações sistemáticas em geometria, como

• todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto;
• qualquer diâmetro divide uma circunferência em duas partes iguais;
• ângulos opostos pelo vértice são congruentes;
• se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um desses triângulos são, respectivamente, iguais a dois ângulos e um lado do outro, então os triângulos são congruentes.

Questão 26

Na figura, tem-se o triângulo $\textrm{ABC}$ que está inscrito em uma semicircunferência de centro $\textrm{O}$. Se a medida do ângulo $\textrm{C}\widehat{\textrm{A}}\textrm{B}$ é $x^{\circ}$, e a medida do ângulo $\textrm{A}\widehat{\textrm{B}}\textrm{C}$ é $\frac{2}{3}x^{\circ}$, então o valor de $x$ é

(A) 54.

(B) 58.

(C) 60.

(D) 72.

(E) 75.

Solução: (A)

Na Figura 26.1 temos os dados do enunciado.

Figura 26.1: Imagem do enunciado com os demais dados apresentados.

Conforme o texto temos que "todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é um ângulo reto", ou seja, $\textrm{A}\widehat{\textrm{C}}\textrm{B}=90^{\circ}$.

imagem

A soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{\circ}$, ou seja:

$x^{\circ}+\frac{2}{3}\; x^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

$x^{\circ}+\frac{2}{3}\; x^{\circ}=90^{\circ}$

$\frac{5}{3}\; x^{\circ}=90^{\circ}$

$x^{\circ}=\frac{90^{\circ} \; \cdot \; 3}{5}=\frac{270^{\circ}}{3}=54^{\circ}$

Desta forma o ângulo $x$ é igual a $54$.

Referência de Estudo
Disciplina	Série / Ano	Bimestre
Matemática Conteúdo: Geometria.	6ª / 7°	2°
Matemática Conteúdo: Números.	6ª / 7°	4°
Matemática Conteúdo: Números / Relações.	7ª / 8°	3°
Fonte:São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; coordenação de área, Nilson José Machado. – 1. ed. atual. – São Paulo : SE, 2011.

Questão 27

Na figura, os segmentos $\overline{\textrm{AC}}$ e $\overline{\textrm{BD}}$ interceptam-se no ponto $\textrm{E}$.

Além disso,

• as medidas dos ângulos $\textrm{D}\widehat{\textrm{A}}\textrm{E}$ e $\textrm{B}\widehat{\textrm{C}}\textrm{E}$ são iguais; 
• os segmentos $\overline{\textrm{DE}}$ e $\overline{\textrm{EB}}$ são congruentes; 
• $\overline{\textrm{AE}}=13$ 
• $\overline{\textrm{AD}}=18$ 
• $\overline{\textrm{DE}}=16$ 
• $\overline{\textrm{EC}}=2x+1$ 
• $\overline{\textrm{BC}}=5y-2$ 

Nessas condições, o valor de $x + y$ é

(A) 6.

(B) 10.

(C) 16.

(D) 20.

(E) 24.

Solução: (B)

Na Figura 27.1 temos os dados do enunciado.

Figura 27.1: Imagem do enunciado com os demais dados apresentados.

Observe que temos $\epsilon= \epsilon_{1}$, pois são ângulos opostos pelo vértice $\textrm{E}$.

Podemos considerar dois triângulos: o triângulo $\textrm{AED}$ e o triângulo $\textrm{CEB}$. Estes triânulos são inicilamente semelhantes, vide Figura 2.

Figura 27.2: indicação dos lados correspondentes aos triângulos
semelhantes e congruentes $\textrm{AED}$ e $\textrm{CEB}$..

Outro fato importante é que $\overline{\textrm{DE}}=\overline{\textrm{EB}}$, este fato permite concluir que os triângulos são congruentes (iguais). Desta forma temos:

• $\overline{\textrm{DE}}=\overline{\textrm{EB}}$
• $\overline{\textrm{AD}}=\overline{\textrm{BC}}$
• $\overline{\textrm{AE}}=\overline{\textrm{EC}}$

Calculando o valor de $y$:

$\overline{\textrm{AD}}=\overline{\textrm{BC}}$

$18=5y-2$

$18+2=5y$

$20=5y$

$y=\frac{20}{5}=4$

Calculando o valor de $x$:

$\overline{\textrm{AE}}=\overline{\textrm{EC}}$

$13=2x+1$

$13-1=2x$

$12=2x$

$x=\frac{12}{2}=6$

Calculando o valor de $x+y$:

$x+y=6+4=10$

Desta forma a soma de $x$ e $y$ é igual a $10$.

Referência de Estudo
Disciplina	Série / Ano	Bimestre
Matemática Conteúdo: Geometria.	6ª / 7°	2°
Matemática Conteúdo: Números.	6ª / 7°	4°
Matemática Conteúdo: Números / Relações.	7ª / 8°	3°
Matemática Conteúdo: Geometria / Relações.	8ª / 9°	3°
Fonte:São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; coordenação de área, Nilson José Machado. – 1. ed. atual. – São Paulo : SE, 2011.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!