As redes são usadas nas traves de futebol para impedir a passagem da bola e, desta forma, facilitar a identificação do gol. Considerando a ilustração abaixo, quantos metros quadrados de rede são necessários para cobrir essa trave de futebol?
Dado:
Retângulos $ABCD$ e $BCEH$;
Os trapézios $ABEF$ e $CDGH$ são congruentes.
(A) 28,426 m2.
(B) 31,598 m2.
(C) 31,598 m.
(D) 51,56 m2.
(E) 51,56 m.
Solução: (B)
Lembre-se que a área em questão tem como unidade o $m^{2}$, logo podemos descartar as alternativas (C) e (E).
O termo "congruente" citado no enunciado significa igual.
A questão pode ser resolvida de forma mais prática conhecendo a expressão matemática utilizada para se calcular a área do retângulo e a área do trapézio.
$A_{ret\hat{a}ngulo}=lado_{maior}\; \times \; lado_{menor}$
$A_{trapezio}=\frac{\left [lado_{maior}\; + \; lado_{menor} \right ]\; \times \; altura}{2}$
Lembrando que no trapézio o $lado_{maior}$ é paralelo ao $lado_{menor}$.
Analisando a imagem do enunciado podemos obter a Figura1:
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| Figura 1: Identificação das áreas da rede. |
Observe que a área da rede, $A_{rede}$, é a soma das área de dois retângulos e de dois trapézios.
Calculando as áreas dos retângulos:
$A_{ABCD}=\overline{AD}\; \times \; \overline{AB}=7,32\; \times \; 0,80=5,856\; m^{2}$
$A_{BCHE}=\overline{BC}\; \times \; \overline{BE}=7,32\; \times \; 2,65=19,398\; m^{2}$
Calculando a área dos trapézios:
$A_{ABEF}=A_{DCHG}=\frac{\left [\overline{GH}\; + \; \overline{DC} \right ]\; \times \; \overline{DG}}{2}=\frac{\left [1,80\; + \; 0,80 \right ]\; \times \; 2,44}{2}=\frac{\left [2,60 \right ]\; \times \; 2,44}{2}=\frac{6,344}{2}=3,172\; m^{2}$
Então:
$A_{rede}=A_{ABCD} \; + \; A_{BCHE} \; + \; A_{ABEF} \; A_{DCHG}=5,856 \; + \; 19,389 \; + \; 3,172 \; 3,172=31,589 \; m^{2}$
Outra forma de pensar é unir os retângulos e os trapézios como demostrado na Figura 2. Este raciocínio é útil nos caso em que não se lembrar da expressão matemática que permite obter a área do trapézio.
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| Figura 2: Reorganização das áreas da rede para facilitar o cálculo. |
Unindo os dois retângulos temos um o retângulo $ADHE$, com os lados medindo: $\overline{AD}=7,32\; m$ e $\overline{AE}=\overline{DH}=\overline{AB}+\overline{BE}=0,80\; m + 2,65\; m=3,45\; m$.
Calculando a área:
$A_{ADHE}=\overline{AD} \; \times \; \overline{AE}=7,32\; \times \; 3,45=25,254\; m^{2}$
Unindo os dois trapézios temos um o retângulo $AGDF$, com os lados medindo: $\overline{AF}=2,44\; m$ e $\overline{AG}=\overline{AB}+\overline{HG}=0,80\; m + 1,80\; m=2,60\; m$.
Calculando a área:
$A_{AGDF}=\overline{AF} \; \times \; \overline{AG}=2,44\; \times \; 2,60=6,344\; m^{2}$
Então:
$A_{rede}=A_{ADHE} \; + \; A_{AGDF} = 25,254\; + \; 6,344=31,589 \; m^{2}$
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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