Questão 10 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 2° Semestre de 2.007

A ciência e a tecnologia, no decorrer da nossa história, vêm atuando para facilitar o trabalho humano. Atualmente, a calculadora facilita e agiliza os cálculos, sendo uma ferramenta largamente difundida e presente, até em telefones celulares. No entanto, há operações com alguns números naturais que apresentam características particulares, dispensando o uso de calculadoras.

Observe e analise os quadrados de números naturais formados apenas pelo algarismo 1.

$1^{2} = 1$

$11^{2}=121$

$111^{2}=12\; 321$

$1111^{2}=1\; 234\; 321$

Se o número $1\; 234\; 567\; 654\; 321$ é o quadrado de um número natural que possui $n$ algarismos iguais a $1$, então $n$ é igual a

(A) 5.

(B) 6.

(C) 7.

(D) 8.

(E) 9.

Solução: (C)

Observe cada um dos quadrados considerando o a quantidade de "1's" e o algarismo no centro de cada resultado:

${\color{Blue} 1}^{2}={\color{Red} 1}$

${\color{Blue} 11}^{2}=1{\color{Red} 2}1$

${\color{Blue} 111}^{2}=12{\color{Red} 3}21$

${\color{Blue} 1111}^{2}=123{\color{Red} 4}321$

No caso de $1\; 234\; 56{\color{Red}7}\; 654\; 321$ o algarismo 7 está no centro, logo este é o resultado de $1111111^{2}$.

Logo temos que $n=7$.

Observe o interessante padrão:

$1\times 1={\color{Red} 1}$
$11\times 11=1{\color{Red} 2}1$
$111\times 111=12.{\color{Red} 3}21$ 
$1.111\times 1.111= 1.23{\color{Red} 4}.321$
$11.111\times 11.111=123.4{\color{Red} 5}4.321$
$111.111\times 111.111=12.345.{\color{Red} 6}54.321$
$1.111.111\times 1.111.111=1.234.56{\color{Red} 7}.654.321$
$11.111.111\times 11.111.111=123.456.7{\color{Red} 8}7.654.321$
$111.111.111\times 111.111.111=12.345.678.{\color{Red} 9}87.654.321$

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!