Questão 41 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.016

Um terreno inclinado traz dificuldades para a construção civil, para a agricultura e para um caminhante aventureiro.

Seja $\alpha$ a medida do ângulo que a superfície do terreno faz com o plano horizontal, conforme a figura.

A taxa de declividade, ou apenas declividade, de um terreno é a tangente desse ângulo $\alpha$ . A declividade de um terreno é, normalmente, expressa em porcentagem, por exemplo, se $\tan \alpha =0,23 $, então, a taxa de declividade é 23%.

Um excursionista sobe uma montanha que tem declividade de 50%. Considere que, do ponto que o excursionista partiu até o topo da montanha, o desnível vencido foi de 1000 metros.

Nessas condições, a menor distância percorrida pelo excursionista até o topo da montanha é, em quilômetros,

(A)$\sqrt{2}$.

(B)$\sqrt{3}$.

(C)$\sqrt{4}$.

(D)$\sqrt{5}$.

(E)$\sqrt{6}$.

Solução: (D)

A solução está em quilômetros (km), então "desnível vencido foi de 1000 metros" equivale a um desnível de 1 km.

A Figura 1 mostra um esquema da situação descrita no enunciado:

Figura 1: Análise realizado segundo os dados do enunciado.

Temos um triângulo retângulo $ACB$, onde devemos calcular $\overline{AB}$, que é a hipotenusa do triângulo

Segundo o enunciado temos que $50\% \Rightarrow \tan \alpha =0,50 $, e sabemos também que:

$\tan \left ( \hat{a}ngulo \right )=\frac{cateto\; oposto}{cateto\; adjacente}$

$\tan \left ( \alpha \right )=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$

$\tan \left (\alpha \right )=\frac{1}{\overline{BC}}$

$0,50=\frac{1}{\overline{BC}}\Rightarrow \overline{BC}=\frac{1}{0,50}=2\; km$

Utilizando o teorema de Pitágoras:

$\overline{AB}^{2}=\overline{AC}^{2}+\overline{BC}^{2}$

$\overline{AB}^{2}=1^{2}+2^{2}=1+4=5$

$\overline{AB}^{2}=5\Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{5}\; km$

Logo a menor distância percorrida pelo excursionista até o topo da montanha é $\sqrt{5}\; km$.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!