Cargo: Professor de Educação Básica III - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Leopoldina / MG
Instituição: IDECAN
Fonte: PCI Concursos
Seja o polinômio $6x^{5}+ 15x^{4}+ mx^{3}+ nx^{2}+ 8$ divisível por $2x^{3}+ 5x^{2}– 2$. Multiplicando-se os coeficientes “$m$” e “$n$” obtém-se:
A) –120.
B) –146.
C) 192.
D) 208.
Solução: (D)
Dados dois polinômios $p\left ( x \right )$ (dividindo) e $g\left ( x \right )$ (divisor), sendo $g\left ( x \right )\neq 0$. Dividir $p\left ( x \right )$ por $g\left ( x \right )$ é determinar dois outros polinômios $q\left ( x \right )$ (quociente) e $r\left ( x \right )$ (resto) de modo que:
i) $q\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )+r\left ( x \right )=p\left ( x \right )$
ii) $grau\; de\; r\left ( x \right )<\; grau\; de\; g\left ( x \right )$
Para resolver esta questão utilizarmos o Método de Descartes, que se baseia na propriedade da igualdade de polinôminos:
1° passo: determinar o grau de $q\left ( x \right )$ e $r\left ( x \right )$
O grau de $q\left ( x \right )$ é a diferença do grau de $p\left ( x \right )$ pelo grau de $g\left ( x \right )$, ou seja, $5-3=2$.
2° passo: definir as possibilidades dos polinômios $q\left ( x \right )$ e $r\left ( x \right )$:
Sendo 2 o grau de $q\left ( x \right )$, então podemos supor que $q\left ( x \right )=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$
O grau de $r\left ( x \right )$ não é necessário calcular pelo fato de que $r\left ( x \right )=0$, pois $p\left ( x \right )$ é divisivel por $g\left ( x \right )$.
3° passo: determinar os coeficientes conforme a igualdade $q\left ( x \right )\cdot g\left ( x \right )+r\left ( x \right )=p\left ( x \right )$:
$\left ( a\cdot x^{2}+b\cdot x+c \right )\cdot \left (2\cdot x^{3}+5\cdot x^{2}-2 \right )+0=6\cdot x^{5}+ 15\cdot x^{4}+ m\cdot x^{3}+ n\cdot x^{2}+ 8$
$2\cdot a\cdot x^{5}+5\cdot a\cdot x^{4}-2\cdot a\cdot x^{2}+2\cdot b\cdot x^{4}+5\cdot b\cdot x^{3}-2\cdot b\cdot x+2\cdot c\cdot x^{3}+5\cdot c\cdot x^{2}-2\cdot c=6\cdot x^{5}+ 15\cdot x^{4}+ m\cdot x^{3}+ n\cdot x^{2}+8$
$2\cdot a\cdot x^{5}+\left (5\cdot a+2\cdot b \right )\cdot x^{4}+\left (5\cdot b+2\cdot c \right )\cdot x^{3}+\left (-2\cdot a+5\cdot c \right )\cdot x^{2}-2\cdot b\cdot x-2\cdot c=6\cdot x^{5}+ 15\cdot x^{4}+ m\cdot x^{3}+ n\cdot x^{2}+8$
$\left\{\begin{matrix}
2\cdot a=6\Rightarrow a=3\\
-2\cdot c=8\Rightarrow c=-4\\
5\cdot a+2\cdot b=15\Rightarrow b=0
\end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix}
5\cdot b+2\cdot c = m\Rightarrow m=-8\\
-2\cdot a+5\cdot c =n\Rightarrow n=-26
\end{matrix}\right.$
$m\cdot n=\left ( -8 \right )\cdot \left ( -26 \right )=208$
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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