Questão 20 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 1° Semestre de 2.007

Pedro precisa medir a largura do rio que passa próximo ao seu sítio. Como não dispõe dos equipamentos adequados para esse fim, e lembrando-se de suas aulas de Matemática, estabeleceu o seguinte procedimento:

• colocou-se no ponto $P$, em uma das margens do rio, em frente a uma árvore $A$ que havia crescido bem rente à outra margem do rio. 
• a partir do ponto $P$, em uma trajetória perpendicular ao segmento $\overline{PA}$, deu seis passos e colocou uma estaca $E$ no solo. Ainda na mesma trajetória e no mesmo sentido, deu mais quatro passos, marcando o ponto $Q$.
• a partir do ponto $Q$, deslocou-se na perpendicular ao segmento $\overline{PQ}$ para o ponto $F$, de modo que o ponto $F$, a estaca $E$ e a árvore $A$ ficassem perfeitamente alinhados. A distância entre os pontos $Q$ e $F$ corresponde a seis passos.

Como cada passo de Pedro mede 80 cm, a largura do rio, em metros, é de aproximadamente

(A) 5.

(B) 6.

(C) 7.

(D) 8.

(E) 9.

Solução: (C)

Partindo dos dados apresentado no enunciado podemos completar e imagem inicial conforme a Figura 1:

Figura 1: Completando a imagem do enunciado após uma
análise dos dados do enunciado.

Observe que $\theta =\theta _1$, pois são ângulos opostos pelo vértice $E$.

Desta forma o triângulo $FQE$ é semelhante ao triângulo $APE$, logo podemos considerar a igualdade:

$\frac{\overline{FQ}}{\overline{QE}}=\frac{\overline{AP}}{\overline{PE}}$

Segundo o enunciado cada passo mede 80 cm, sendo a resposta em metros vamos considerar cada passo medindo 0,80 m.

$\left\{\begin{matrix} \overline{FQ}=0,80\cdot 6=4,80\; m\\ \overline{QE}=0,80\cdot 4=3,20\; m\\ \overline{PE}=0,80\cdot 6=4,80\; m \end{matrix}\right.$

Sendo $\overline{AP}=x$, temos:

$\frac{4,80}{3,20}=\frac{\overline{x}}{4,80}\Rightarrow x=\frac{4,80\; \cdot \; 4,80 }{3,20}=\frac{23,04}{3,2}=7,20$

Então a largura do rio é aproximadamente 7 metros.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!