Cargo: Analista Municipal III - Professor dos Anos Finais do Ensino Fundamental e do EJA - Matemática
Ano: 2016
Órgão: Prefeitura de Francisco Dumont / MG
Instituição: COTEC / UNIMONTES
Fonte: PCI Concursos
Considere $a,\, b,\, c\: \in \mathbb{R}$ com $a\neq 0$. O ponto de coordenadas $\left ( x_{0},\, y_{0} \right )$ pertence à parábola de equação $y=ax^{2}+bx_{0}x+y_{0}$. Se $x\neq 0$, então a abscissa do vértice dessa parábola é
A) $\frac{1}{2}$.
B) $2$.
C) $1$.
D) $\frac{1}{4}$.
Solução: (A)
O ponto de coordenadas $\left ( x_{0},\, y_{0} \right )$ pertence à parábola de equação $y=ax^{2}+bx_{0}x+y_{0}$, então: $y=y_{0}$ e $x=x_{0}$.
$y_{0}=a\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}+b\cdot x_{0}\cdot x_{0}+y_{0}$
$a\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}+b\cdot \left (x_{0} \right )^{2}=y_{0}-y_{0}$
$\left (a+b \right )\cdot \left (x_{0} \right )^{2}=0$
Nesta condição temos: $\left (a+b \right )=0$ ou $\left (x_{0} \right )^{2}=0$.
Observe que $\left (x_{0} \right )^{2}=0\rightarrow x_{0}=0$ e que o enunciado indica $x\neq 0$, logo concluimos que:
$a+b=0\, \therefore a=-b$
As coordenadas do vértice $V=\left ( x_{V},\: y_{V} \right )$ da parábola de equação $y=k_{1}\cdot x^{2}+k_{2}\cdot x+k_{3}$ com $k_{1}$, $k_{2}$ e $k_{3}$ $\in \mathbb{R}$, e dado segundo a relação:
$x_{V}=-\frac{b}{2\cdot k_{1}}$
$y_{V}=-\frac{\Delta }{4\cdot k_{1}}$
$\Delta=\left ( k_{2} \right )^{2}-4\cdot k_{1}\cdot k_{3}$
Para encontrar a abscissa do vértice, consideramos a seguinte igualdade:
$x_{V}=-\frac{b}{2\cdot a}$
$x_{V}=-\frac{b\cdot x_{0}}{2\cdot \left ( -b \right )}=\frac{x_{0}}{2}$
De forma semelhante, ao calcular $y_{V}$:
$y_{V}=-\frac{\Delta }{4\cdot k_{1}}$
$y_{V}=-\frac{\Delta }{4\cdot k_{1}}=-\frac{\left ( \left ( k_{2} \right )^{2}-4\cdot k_{1}\cdot k_{3} \right ) }{4\cdot k_{1}}=-\frac{\left ( \left ( a\cdot x_{0} \right )^{2}-4\cdot a\cdot y_{0} \right ) }{4\cdot a}$
$y_{V}=\frac{-a\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}+4\cdot y_{0}}{4}$
$y=a\cdot x^{2}+b\cdot x_{0}\cdot x+y_{0}\rightarrow a\cdot x^{2}+b\cdot x_{0}\cdot x+y_{0}=\frac{-a\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}+4\cdot y_{0}}{4}$
$4\cdot a\cdot x^{2}-4\cdot a\cdot x_{0}\cdot x+4\cdot y_{0}=-a\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}+4\cdot y_{0}$
$ 4\cdot a\cdot x^{2}+a\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}-4\cdot a\cdot x_{0}\cdot x=-4\cdot y_{0}+4\cdot y_{0}$
$4\cdot a\cdot x^{2}+a\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}-4\cdot a\cdot x_{0}\cdot x=0$
$4\cdot x^{2}+\left ( x_{0} \right )^{2}-4\cdot x_{0}\cdot x=0$
$x=\frac{4\cdot x_{0}\pm \sqrt{16\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}-4\cdot 4\cdot \left ( x_{0} \right )^{2}}}{2\cdot 4}=\frac{4\cdot x_{0}}{8}=\frac{x_{0}}{2}$
Observe que os dados do problema não permite determinar corretamente a abscissa do vértices por estar condicionada ao valor de $x_{0}$.
Para que a alternativa (A) seja a correta temos que considerar $x_{0}=1$, entretanto observe que:
(i) se $x_{0}=4\rightarrow x_{V}=2$, o que resulta na alternativa correta (B);
(ii) se $x_{0}=2\rightarrow x_{V}=1$, o que resulta na alternativa correta (C);
(iii) se $x_{0}=\frac{1}{2}\rightarrow x_{V}=\frac{1}{4}$, o que resulta na alternativa correta (D);
Lembrando que $x\neq 0$, então, devida as múltiplas soluções a questão deveria ser anulada.
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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