Questão 21 - Processo Seletivo - Senai - 2.016

Processo Seletivo: Curso Técnico
Ano: 2º semestre de 2016
Órgão: SENAI
Prova: CGF 2120
Fonte: Portal SENAI

Usando triângulos retângulos semelhantes, um aluno fez a composição artística representada pela figura fora de escala abaixo.

Sabendo as medidas referentes ao primeiro triângulo, qual o valor de $x$, em centímetros?

a. 5,40.

b. 9,00.

c. 12,8.

d. 3,24.

e. 16,0.

Solução: (a)

Segundo Dolce e Pompeo (p. 198, 1.993):

"Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Dois lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes".

Seguindo o enunciado obtemos a Figura 1. Observe que os $\beta \equiv \beta_{1}\equiv \beta_{3}$ então $\overline{AC}\equiv \overline{AE}\equiv \overline{AF}$ são lados homólogos, logo são proporcionais.

Figura 1: Figura obtida da análise dos dados do enunciado.

Sendo a razão entre lados homólogos de dois triângulos semelhantes é denominado razão de proporcionalidade, ou seja, quando dividimos dois lados homólogos obtemos o mesmo valor, então, considerando o triângulo ACB e o triângulo AEB:

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AE}}$

Podemos calcular $\overline{AE}=x_{1}$ (vide Figura 2):

Figura 2: O triângulo ACB, semelhante ao triângulo AEB,

$\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{AC}}{x_{1}}\Rightarrow \frac{25}{15}=\frac{15}{\overline{AE}}\Rightarrow x_{1}=\frac{15\; \cdot\; 15}{25}=9\; cm$

Calculando o lado $\overline{AF}=x$:

$\frac{\overline{AC}}{\overline{AE}}=\frac{\overline{AE}}{\overline{AF}}\Rightarrow \frac{15}{9}=\frac{9}{x}\Rightarrow x=\frac{9\; \cdot\; 9}{15}=5,4\; cm$

Fonte:

DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar - volume 9. 7º ed. São Paulo: Editora Atual, 1993. 

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!