Um trecho do rio Tranqüilo, com margens retilíneas e paralelas, atravessa uma região plana. A casa de Bruno fica na margem esquerda do rio Tranqüilo, e na margem direita desse rio ficam a casa de Camila e o armazém “Tem de Tudo”. Bruno sabe que a largura do rio Tranqüilo é de 21 metros e que as distâncias entre a sua casa e a casa de Camila, entre a sua casa e o armazém e entre a casa de Camila e o armazém são iguais.
Em um certo dia, Bruno sai de sua casa, vai até o armazém, depois vai direto até a casa de Camila e volta para casa, realizando sempre os menores trajetos possíveis, sem obstáculos e não passando por nenhum outro lugar. Considerando todas as construções localizadas na beira do rio, quando retornou à sua casa, Bruno calculou que a distância percorrida nesse dia foi, em metros, de
(A)$42\; \sqrt{3}$.
(B)$35\; \sqrt{3}$.
(C)$28\; \sqrt{3}$.
(D)$21\; \sqrt{3}$.
(E)$7\; \sqrt{3}$.
Solução: (C)
Segundo os dados do enunciado e considerando que as casas e o armazém estão próximos a margem do rio podemos obter a Figura 1.
Observe que os pontos que representam a $Casa_{Bruno}$, a $Casa_{Camila}$ e o $Arm_{Tem\; de \; Tudo}$ formam um triângulo equilátero, pois as distâncias entre estes locais são iguais.
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| Figura 1: Análise inicial do enunciado. |
A largura do Rio Tranqüilo representa a altura deste triângulo. Observe a Figura 2 a forma como se obtemos a distância $d$ entre os pontos.
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| Figura 2: Forma de se obter a distância entre os pontos. |
Na prática podemos obter o valor de $d$ de duas formas:
(i) aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelos pontos $Casa_{Bruno}$, $Casa_{Camila}$ e $H$.
$d^{2}=21^2+\left ( \frac{d}{2} \right )^2$
$d^{2}=21^2+\frac{d^{2}}{2^{2}}$
$d^{2}-\frac{d^{2}}{4}=441$
$\frac{3\cdot d^{2}}{4}=441$
$3\cdot d^{2}=1764$
$d^{2}=588\Rightarrow d=\sqrt{588}=14\cdot \sqrt{3}$
(ii) utilizando a relação trigonométrica do cosseno no $Casa_{Bruno}$, $Casa_{Camila}$ e $H$ utilizando o seno do ângulo $60^{\circ}$.
$seno \left ( 60^{\circ} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$seno \left ( \hat{a}ngulo \right )=\frac{cateto\; oposto}{hipotenusa} \Rightarrow seno \left ( 60^{\circ} \right )=\frac{21}{d}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{21}{d}$
$d=\frac{42}{\sqrt{3}}\Rightarrow d=\frac{42}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{42\cdot \sqrt{3}}{3}=14\cdot \sqrt{3}$
A distância total que Bruno percoreu é igual a $3\cdot d$, pois segundo o enunciado Bruno sai de sua casa, vai até o armazém, percorrendo $d$; depois vai direto até a casa de Camila, percorrendo $d$ e volta para casa, percorrendo $d$, realizando sempre os menores trajetos possíveis, sem obstáculos e não passando por nenhum outro lugar.
$d_{total}=3\cdot d = 3\cdot 14\cdot \sqrt{3}=42\cdot \sqrt{3}$
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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