Um trecho do rio Tranqüilo, com margens retilíneas e paralelas, atravessa uma região plana. A casa de Bruno fica na margem esquerda do rio Tranqüilo, e na margem direita desse rio ficam a casa de Camila e o armazém “Tem de Tudo”. Bruno sabe que a largura do rio Tranqüilo é de 21 metros e que as distâncias entre a sua casa e a casa de Camila, entre a sua casa e o armazém e entre a casa de Camila e o armazém são iguais.
Em um certo dia, Bruno sai de sua casa, vai até o armazém, depois vai direto até a casa de Camila e volta para casa, realizando sempre os menores trajetos possíveis, sem obstáculos e não passando por nenhum outro lugar. Considerando todas as construções localizadas na beira do rio, quando retornou à sua casa, Bruno calculou que a distância percorrida nesse dia foi, em metros, de
(A)42\; \sqrt{3}.
(B)35\; \sqrt{3}.
(C)28\; \sqrt{3}.
(D)21\; \sqrt{3}.
(E)7\; \sqrt{3}.
Solução: (C)
Segundo os dados do enunciado e considerando que as casas e o armazém estão próximos a margem do rio podemos obter a Figura 1.
Observe que os pontos que representam a Casa_{Bruno}, a Casa_{Camila} e o Arm_{Tem\; de \; Tudo} formam um triângulo equilátero, pois as distâncias entre estes locais são iguais.
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| Figura 1: Análise inicial do enunciado. |
A largura do Rio Tranqüilo representa a altura deste triângulo. Observe a Figura 2 a forma como se obtemos a distância d entre os pontos.
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| Figura 2: Forma de se obter a distância entre os pontos. |
Na prática podemos obter o valor de d de duas formas:
(i) aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelos pontos Casa_{Bruno}, Casa_{Camila} e H.
d^{2}=21^2+\left ( \frac{d}{2} \right )^2
d^{2}=21^2+\frac{d^{2}}{2^{2}}
d^{2}-\frac{d^{2}}{4}=441
\frac{3\cdot d^{2}}{4}=441
3\cdot d^{2}=1764
d^{2}=588\Rightarrow d=\sqrt{588}=14\cdot \sqrt{3}
(ii) utilizando a relação trigonométrica do cosseno no Casa_{Bruno}, Casa_{Camila} e H utilizando o seno do ângulo 60^{\circ}.
seno \left ( 60^{\circ} \right )=\frac{\sqrt{3}}{2}
seno \left ( \hat{a}ngulo \right )=\frac{cateto\; oposto}{hipotenusa} \Rightarrow seno \left ( 60^{\circ} \right )=\frac{21}{d}
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{21}{d}
d=\frac{42}{\sqrt{3}}\Rightarrow d=\frac{42}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{42\cdot \sqrt{3}}{3}=14\cdot \sqrt{3}
A distância total que Bruno percoreu é igual a 3\cdot d, pois segundo o enunciado Bruno sai de sua casa, vai até o armazém, percorrendo d; depois vai direto até a casa de Camila, percorrendo d e volta para casa, percorrendo d, realizando sempre os menores trajetos possíveis, sem obstáculos e não passando por nenhum outro lugar.
d_{total}=3\cdot d = 3\cdot 14\cdot \sqrt{3}=42\cdot \sqrt{3}
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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