Questão 22 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

Cargo: Professor - Matemática

Ano: 2016

Órgão: IF / MS

Instituição: IF / MS

Fontes: PCI Concursos; IF / MS

Dado o polinômio $P=\left ( \frac{1}{a}+a \right )^{6}$, calcule o termo independente da variável “$a$”.

A) O termo independente é igual a 6.

B) O termo independente é menor que 15.

C) O termo independente é maior que 10 e menor e igual a 20.

D) O termo independente é igual a 1.

E) O termo independente é maior que 30.

Solução: Anulada

A fórmula geral de um termo qualquer $T_{p+1}$, $p\in \mathbb{N}$, do desenvolvimento de $\left ( x+y \right )^{n}$, é dado por:

$T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot x^{n-p}\cdot y^{p}$

Lembrando que:

$\binom{n}{p}=C_{n,p}=\frac{n!}{\left ( n-p \right )!\cdot p!}$

Sabemos que o termo independente não depende de "$a$", logo é o termo que não apresenta letras.

Segundo o enunciado temos $x=\frac{1}{a}$, $y=a$ e $n=6$:

$T_{p+1}=\binom{n}{p}\cdot x^{n-p}\cdot y^{p}$

$T_{p+1}=\binom{6}{p}\cdot \left ( \frac{1}{a} \right )^{6-p}\cdot a^{6}=C_ {6,p}\cdot \left ( \frac{1}{a} \right )^{6-p}\cdot a^{6}$

$T_{p+1}=C_{6,p}\cdot a^{-\left (6-p \right )}\cdot a^{p}=C_{6,p}\cdot a^{p-6}\cdot a^{p}=C_{6,p}\cdot a^{2\cdot p-6}$

Para que o termo seja independente de $a$, o expoente desta variável deve ser zero, pois $a^{0}=1$, então

$a^{2\cdot p-6}=a^{0}\Leftrightarrow 2\cdot p-6=0\; \therefore\: p=3$

Para $p=3$, temos:

$T_{3+1}=T_{4}=C_{6,3}\cdot a^{2\cdot 3-6}$

$T_{3+1}=T_{4}=C_{6,3}\cdot a^{2\cdot 3-6}=C_{6,3}\cdot a^{0}=C_{6,3}$

$T_{4}=\frac{6!}{\left ( 6-3 \right )!\cdot 3!}=\frac{6!}{3!\cdot 3!}=20$

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!