Técnica de Sobrevivência: Cálculo I

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Atualmente as redes sociais, por meio de meme, difundem a dificuldade clássica para a maioria dos estudantes que iniciam um curso superior na área de exatas. A dificuldade está em passar na disciplina de Cálculo, mais precisamente não Cálculo I, base de todo curso de exatas. O conceito de Cálculo na matemática é muito diferente aquele atribuído por uma pessoa no seu cotidiano. Trata-se de ferramenta matemática que permite estudar diversos fenômenos e eventos que ocorrem em determinadas situações. Para seu estudo e compreensão é necessário o domínio de conceitos de Álgebra , Geometria Analítica , Funções e Trigonometria . Se o leitor está pensando em realizar um curso na área de exatas, pode ser relevante aos seus estudos, realizar uma Avaliação Diagnóstica, para analisar seus conhecimentos nestas quatro áreas. Em seus livros James Stewart, costuma disponibilizar, logo de inicio, uma avaliação deste tipo. Que tal realizar esta avaliação? Lembre-se que é sem

Questão 19 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

Cargo: Professor - Matemática
Ano: 2016
Órgão: IF / MS
Instituição: IF / MS


Na construção de um tatame circular para a prática de luta greco-romana, deseja-se marcar dois pontos sobre a circunferência que delimita esse tatame, de tal forma que esses pontos sejam soluções da equação $2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x \right )+3=0$, considerando o conjunto universo $U=\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leqslant x\leqslant 2\cdot \pi \right \}$. Quais as posições circulares desses pontos?

A) $\left [ \pi ,\: 2\cdot \pi \right ]$
B) $\left [ \frac{\pi}{2} ,\: \frac{\pi}{3} \right ]$
C) $\left [ \frac{\pi}{3} ,\: \frac{5\cdot \pi}{3} \right ]$
D) $\left [ \frac{\pi}{5} ,\: \frac{ \pi}{2} \right ]$
E) $\left [ \frac{5\cdot \pi}{2} ,\: \frac{5\cdot \pi}{3} \right ]$


Solução: (C)

Resolvendo a equação $2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x \right )+3=0$:

Considerando $y= cos\left ( x \right )$,

$2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x \right )+3=0$,

$2\cdot y^{2}-7\cdot y+3=0$,

$y=\frac{-\left ( -7 \right )\pm \sqrt{\left ( -7 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot 3}}{2\cdot 2}=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\pm 5}{4}$

$\frac{7\pm 5}{4}=\left\{\begin{matrix} y_1=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\ y_2=\frac{7+5}{4}=3 \end{matrix}\right.$

Observe que $U=\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leqslant x\leqslant 2\cdot \pi \right \}$, desta forma $y= cos\left ( x \right )$ admite valores no intervalo $\left [ -1,\: 1 \right ]$ então $x\: \in \: \left [ -1,\: 1 \right ]$ logo podemos desconsiderar $y_2=3$.

Sabemos que:

$cos\left ( x \right )=a\Rightarrow x=\pm m+2\cdot k\cdot \pi$

Dest forma:

$cos\left ( x \right )=\frac{1}{2}$

$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\cdot k\cdot \pi$

Se $0\leqslant x\leqslant 2\cdot \pi$, então $k=0$:

$x=\pm \frac{\pi}{3}$

$x=\left\{\begin{matrix} \frac{\pi}{3}\rightarrow 1^{\circ}\: quadrante\\ -\frac{\pi}{3}=\frac{5\cdot \pi}{3}\rightarrow 4^{\circ}\: quadrante \end{matrix}\right.$

O que delimita o tatame é um arco que se inicia em $\frac{\pi}{3}$ e termina em $\frac{5\cdot \pi}{3}$.

Logo o arco está no intervalo $\left [ \frac{\pi}{3},\, \frac{5\cdot \pi}{3} \right ]$.

Observe a Figura 1:

Figura 1: Imagem do arco obtido na resolução.


Agradecimentos especiais ao Elcioschin e ao Rihan do fórum $PiR2$ pela ajuda e esclarecimentos conceituais!

***

Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!







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