Cargo: Professor - Matemática
Ano: 2016
Órgão: IF / MS
Instituição: IF / MS
Na construção de um tatame circular para a prática de luta greco-romana, deseja-se marcar dois pontos sobre a circunferência que delimita esse tatame, de tal forma que esses pontos sejam soluções da equação $2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x \right )+3=0$, considerando o conjunto universo $U=\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leqslant x\leqslant 2\cdot \pi \right \}$. Quais as posições circulares desses pontos?
A) $\left [ \pi ,\: 2\cdot \pi \right ]$
B) $\left [ \frac{\pi}{2} ,\: \frac{\pi}{3} \right ]$
C) $\left [ \frac{\pi}{3} ,\: \frac{5\cdot \pi}{3} \right ]$
D) $\left [ \frac{\pi}{5} ,\: \frac{ \pi}{2} \right ]$
E) $\left [ \frac{5\cdot \pi}{2} ,\: \frac{5\cdot \pi}{3} \right ]$
Solução: (C)
Resolvendo a equação $2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x \right )+3=0$:
Considerando $y= cos\left ( x \right )$,
$2\cdot cos^{2}\left ( x \right )-7\cdot cos\left ( x \right )+3=0$,
$2\cdot y^{2}-7\cdot y+3=0$,
$y=\frac{-\left ( -7 \right )\pm \sqrt{\left ( -7 \right )^{2}-4\cdot 2\cdot 3}}{2\cdot 2}=\frac{7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\pm 5}{4}$
$\frac{7\pm 5}{4}=\left\{\begin{matrix}
y_1=\frac{7-5}{4}=\frac{1}{2}\\
y_2=\frac{7+5}{4}=3
\end{matrix}\right.$
Observe que $U=\left \{ x\in \mathbb{R}/0\leqslant x\leqslant 2\cdot \pi \right \}$, desta forma $y= cos\left ( x \right )$ admite valores no intervalo $\left [ -1,\: 1 \right ]$ então $x\: \in \: \left [ -1,\: 1 \right ]$ logo podemos desconsiderar $y_2=3$.
Sabemos que:
$cos\left ( x \right )=a\Rightarrow x=\pm m+2\cdot k\cdot \pi$
Dest forma:
$cos\left ( x \right )=\frac{1}{2}$
$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\cdot k\cdot \pi$
Se $0\leqslant x\leqslant 2\cdot \pi$, então $k=0$:
$x=\pm \frac{\pi}{3}$
$x=\left\{\begin{matrix}
\frac{\pi}{3}\rightarrow 1^{\circ}\: quadrante\\
-\frac{\pi}{3}=\frac{5\cdot \pi}{3}\rightarrow 4^{\circ}\: quadrante
\end{matrix}\right.$
O que delimita o tatame é um arco que se inicia em $\frac{\pi}{3}$ e termina em $\frac{5\cdot \pi}{3}$.
Logo o arco está no intervalo $\left [ \frac{\pi}{3},\, \frac{5\cdot \pi}{3} \right ]$.
Observe a Figura 1:
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Figura 1: Imagem do arco obtido na resolução. |
Agradecimentos especiais ao Elcioschin e ao Rihan do fórum $PiR2$ pela ajuda e esclarecimentos conceituais!
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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