Questão 18 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

Cargo: Professor - Matemática

Ano: 2016

Órgão: IF / MS

Instituição: IF / MS

Fonte: PCI Concursos

Encontre as coordenadas do polinômio $3+5\cdot t+t^{2}-3\cdot t^{3}$ $ \in P_{3}$ (Reais) em relação à base $\left \{ 2,t+1,t^{2}-1,t^{3}-1 \right \}$.

A) $0, 4, -3, 3$

B) $7, - 3, - 1, - 2$

C) $– 2, 5, 1, - 3$

D) $6, 3, 4, - 2$

E) $– 4, - 3, 1, 2$

Solução: (C)

Considerando que os polinômios de $P_{3}$ (Reais) são do tipo $x\cdot t^{0}+y\cdot t^{1}+z\cdot t^{2}+w\cdot t^{3}$ podemos representá-los pelos vetores cujas coordenadas são os coeficientes da variável $t$.

Assim:

(i) o polinomio: $3+5\cdot t+t^{2}-3\cdot t^{3}=\left ( 3,5,1,-3 \right )$.

(ii) a base $\left \{ 2,t+1,t^{2}-1,t^{3}-1 \right \}$: $B=\left \{ \left ( 2,0,0,0 \right );\left ( 1,1,0,0 \right );\left ( -1,0,1,0 \right );\left ( -1,0,0,1 \right ) \right \}$.

Escrevendo então o polinômio (vetor) $3+5\cdot t+t^{2}-3\cdot t^{3}=\left ( 3,5,1,-3 \right )$, como Combinação Linear dos vetores da base teremos:

$\left ( 3,5,1,-3 \right )=x\cdot \left ( 2,0,0,0 \right )+y\cdot \left ( 1,1,0,0 \right )+z\cdot \left ( -1,0,1,0 \right )+w\cdot \left ( -1,0,0,1 \right )$

$\left ( 3,5,1,-3 \right )=\left ( 2\cdot x,0,0,0 \right )+ \left ( y,y,0,0 \right )+ \left ( -z,0,z,0 \right )+ \left ( -w,0,0,w \right )$

$\left ( 3,5,1,-3 \right )=\left ( 2\cdot x+y-z-w,y,z,w \right )$

$\left\{\begin{matrix} 3=2\cdot x+y-z-w\\ 5=y\\ 1=z\\ -3=w \end{matrix}\right.$

$3=2\cdot x+y-z-w\rightarrow x=-2$

Então, $3+5\cdot t+t^{2}-3\cdot t^{3}\Rightarrow \left (-2,5,1,-3 \right )$.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!