Questão 17 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

Cargo: Professor - Matemática

Ano: 2016

Órgão: IF / MS

Instituição: IF / MS

Fonte: PCI Concursos

Determinar a área da região delimitada pela função $y=x\cdot \left ( x+1 \right )\cdot \left ( x+2 \right )$) e pelo eixo $x$ para $-1\leq x\leq 2$.

A) $\frac{65}{4}$

B) $64$

C)$ \frac{16}{3}$

D)$ \frac{63}{2}$

E)$ \frac{64}{3}$

Solução: (A)

Lembrando do gráfico da função $f\left ( x \right )=a\cdot x^{3}+b\cdot x^{2}+c\cdot x+d$ que apresenta três raízes, desta forma:

$y=x\cdot \left ( x+1 \right )\cdot \left ( x+2 \right )$

$x_{1}=0$

$\left ( x+1 \right )=0\rightarrow x_{2}=-1$

$\left ( x+2 \right )=0\rightarrow x_{2}=-2$

Então o gráfico corta o eixo da abscissa "$x$" três vezes. Isso é importante para o cálculo da área no intervalo do enunciado.

Utilizando o apple do GeoGebra para auxiar a visualização temos:

$y=x\cdot \left ( x+1 \right )\cdot \left ( x+2 \right )\rightarrow f\left ( x \right )=x^{3}+3\cdot x^2+2\cdot x$

Logo que devemos calcular é a área em amarelo da Figura 1:

Figura 1: Área que deve ser calculada.

Observe que no intervalo $-1\leq x\leq 0$ o gráfico está abaixo do eixo das abscissas e no intervalo de $0\leq x\leq 2$ está acima do eixo das abscissas.

Na prática isto não interfere no valor final da área, apenas que deve ser realizado a soma de duas integrais, um para o intervalo $-1\leq x\leq 0$ e outra para o intervalo $0\leq x\leq 2$., ao inves de uma só no intervalo $-1\leq x\leq 2$. Logo:

$A_{total}=-A_{1}+A_{2}$

Observe que $A_{1}$ é negativo porque está abaixo do eixo das abscissas.

$A_{total}=-\int_{-1}^{0}x^{3}+3\cdot x^2+2\cdot x\, dx\, +\, \int_{0}^{2}x^{3}+3\cdot x^2+2\cdot x\, dx$

$A_{total}=-\left ( \frac{1}{4} \right )+16=\frac{1}{4}+16=\frac{65}{4}$

Desta forma a área do da região delimitada pela função $y=x\cdot \left ( x+1 \right )\cdot \left ( x+2 \right )$) e pelo eixo $x$ para $-1\leq x\leq 2$ é $\frac{65}{4}$ unidades de área.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!