Questão 16 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

Cargo: Professor - Matemática

Ano: 2016

Órgão: IF / MS

Instituição: IF / MS

Fonte: PCI Concursos

Encontre o volume do sólido, no primeiro octante, delimitado por planos coordenados e as superfícies $x + z = 2$ e $y = 4 – 2z$.

A) $\frac{1}{3}$

B) $\frac{4}{3}$

C) $\frac{8}{3}$

D) $\frac{16}{3}$

E) $20$

Solução: (D)

Os três eixos coordenados $x$, $y$ e $z$ três plano coordenado: o plano $xy$ é o plano que contém os eixos $x$ e $y$; o plano $yz$ contém os eixos $y$ e $z$; o plano $xz$ contém os eixos $x$ e $z$ e estes três planos coordenados dividem o espaço em oito partes, chamadas octantes. O primeiro octante é determinado pelos eixos positivos.

Sendo o sólido delimitado pelos planos coordenados temos:

$\left\{\begin{matrix} x=0\\ y=0\\ z=0 \end{matrix}\right.$

Desta forma obtemos:

(i)

$x+z=2\rightarrow x=2-z$

$y=4-2\cdot z$

(ii) para $x=0$ e $y=0$:

$\left\{\begin{matrix} x+z=2\rightarrow z=2\\ y=4-2\cdot z\rightarrow y=4 \end{matrix}\right.$

Logo o volume do sólido é dado

$V_{solido}=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-2\cdot z}\int_{0}^{2-x}1\, dx\, dy\, dz$

$\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-2\cdot z}\left (2-z \right ) dy\, dz$

$\int_{0}^{2}\left ( 2\cdot z^{2}-8\cdot z+8 \right ) dz$

$\left.\begin{matrix} \left ( \frac{2}{3}\cdot z^{3}-4\cdot z^{2}+8\cdot z \right ) \end{matrix}\right|_{0}^{2}$

$V_{solido}=\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-2\cdot z}\int_{0}^{2-x}1\, dx\, dy\, dz=\frac{2}{3}\cdot 2^{3}-4\cdot 2^{2}+8\cdot 2=\frac{16}{3}$

O volume do sólido é $\frac{16}{3}$ unidades de volume.

Figura 1: A superfície $x + z = 2$, em vermelho e a superfície $y = 4 – 2z$, em verde.

Figura 2: Sólido que deve se calculado na questão.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!