Questão 15 - Concurso Professor de Matemática - Instituto Federal / MS - 2.016

Cargo: Professor - Matemática

Ano: 2016

Órgão: IF / MS

Instituição: IF / MS

Fonte: PCI Concursos

Em um conjunto de quatro números, observa-se que os três primeiros estão em progressão geométrica e os três últimos estão em progressão aritmética, com razão 6. Sabendo que o primeiro número é igual ao quarto, a soma desses números é:

A) 13

B) 14

C) 15

D) 18

E) 24

Solução: (B)

Temos um conjunto com quatro números {M, N, P, M}, sem mudar a posição destes números.

Sendo os três primeiro {M, N, P}, correspondem a uma progreção geométrica (p.g.) então:

$\left \{ \frac{x}{q},x,x\cdot q \right \}$

Sendo $q$ a razão da p.g.

Sendo os três ultimos {N, P, M}, correspondem a uma progreção aritmética (p.a.) então:

$\left \{ y-r,y,y+r \right \}$

Sendo $r$ a razão da p.a. que conforme o enunciado é 6, logo:

$\left \{ y-6,y,y+6 \right \}$

Segundo o enunciado temos que o primeiro e o último número são iguais:

$\frac{x}{q}=y+6$

$q=\frac{x}{y+6}$

Outra relação importante é obtida analisando a tabela:

M	N	P	M
$\frac{x}{q}$	$x$	$x\cdot q$
	$y-6$	$y$	$y+6$

Então temos:

$x\cdot q=y\rightarrow q=\frac{y}{x}$

$\frac{y}{x}=\frac{x}{y+6}$

$x=y-6$

$\frac{y}{y-6}=\frac{y-6}{y+6}$

$y\cdot \left ( y+6 \right )=\left ( y-6 \right )\cdot \left ( y-6 \right )$

$y^{2}+6\cdot y=y^{2}-12\cdot y+36$

$18\cdot y=36$

$y=2$

Então os numeros do conjunto são {8, -4, 2, 8}.

Obtemos a soma: $8+\left ( -4 \right )+2+8=18-4=14$.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!