Cargo: Professor - Matemática
Ano: 2016
Órgão: IF / MS
Instituição: IF / MS
Fonte: PCI Concursos
Dados os números complexos $z_{1}=2\cdot \left ( cos\left ( \frac{\pi }{3} \right )+ i\cdot sen\left ( \frac{\pi }{3} \right )\right )$, $z_{2}=5\cdot \left ( cos\left (\pi \right )+ i\cdot sen\left ( \pi \right )\right )$ e $z_{3}=4\cdot \left ( cos\left (2\cdot \pi \right )+ i\cdot sen\left (2\cdot \pi \right )\right )$, encontre a área do triângulo formado pelos seus afixos:
A) $\frac{9}{2}$
B) $\frac{9}{4}$
C) $\frac{\sqrt{3}}{4}$
D) $\frac{9\cdot \sqrt{3}}{2}$
E) $\frac{9\cdot \sqrt{3}}{2}$
Solução: (D)
Afixo de um número complexo $z=a+ib$, $a,b\in \mathbb{R}$, é o ponto $P$ do plano cujas coordenadas cartesianas são $\left ( a, b \right )$.
Passando os números complexos da forma trigonométrica para a forma algébrica:
$z_{1}=2\cdot \left ( cos\left ( \frac{\pi }{3} \right )+ i\cdot sen\left ( \frac{\pi }{3} \right )\right )=2\cdot \left (\frac{1}{2}+ i\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right )=1+i\cdot \sqrt{3}$
Logo $a_{1}=1$ e $b_{1}=\sqrt{3}$ sendo $P_{1}=\left ( a_{1},b_{1} \right )=\left ( 1,\sqrt{3} \right )$.
$z_{2}=5\cdot \left ( -1+ i\cdot 0\right )=5\cdot \left ( -1\right )=-5$
Logo $a_{2}=-5$ e $b_{2}=0$ sendo $P_{2}=\left ( a_{2},b_{2} \right )=\left ( -5,0 \right )$.
$z_{3}=4\cdot \left ( cos\left (2\cdot \pi \right )+ i\cdot sen\left (2\cdot \pi \right )\right )=4\cdot \left ( 1+ i\cdot 0\right )=4\cdot \left ( 1\right )=4$
Logo $a_{3}=4$ e $b_{3}=0$ sendo $P_{3}=\left ( a_{3},b_{3} \right )=\left ( 4,0 \right )$.
A Figura 1 apresenta o triângulo formado pelos pontos $P_{1}$, $P_{2}$ e $P_{3}$.
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Figura 1: Triângulo formado pelos afixo dos números complexos $z_{1}$, $z_{2}$ e $z_{3}$. |
Na geometria analítica calcula-se a área do triângulo formado pelos pontos $P_{1}$, $P_{2}$ e $P_{3}$, por meio da relação:
$A_{\Delta }=\frac{\begin{vmatrix}
a_{1}& b_{1}& 1 \\
a_{2}& b_{2}& 1 \\
a_{3}& b_{3}& 1
\end{vmatrix}}{2}$
$A_{\Delta }=\frac{\begin{vmatrix}
1& \sqrt{3}& 1 \\
-5& 0& 1 \\
4& 0& 1
\end{vmatrix}}{2}$
Calculando temos:
$A_{\Delta }=\frac{\begin{vmatrix}
1& \sqrt{3}& 1 \\
-5& 0& 1 \\
4& 0& 1
\end{vmatrix}}{2}=\frac{9\cdot \sqrt{3}}{2}$
Então a a área do triângulo formado pelos pontos $P_{1}$, $P_{2}$ e $P_{3}$ é $\frac{9\cdot \sqrt{3}}{2}$ unidades de área.
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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