Cargo:Professor - Matemática
Ano: 2016
Órgão: IF / MS
Instituição: IF / MS
Um tanque com a forma de um prisma com base hexagonal regular, sem tampa, foi construído a partir de chapas de aço. Sabendo que o custo do metro quadrado é de \$ 10 para a lateral e \$ 20 para a base e que o seu volume é de 64 m3, assinale a alternativa que corresponda à parte inteira do custo mínimo dessa construção:
A) 600
B) 720
C) 960
D) 1020
E) 1240
Solução: (C)
Sendo a base do prisma um hexágono regular, este tanque apresenta 6 lados iguais e no formato de retangulos.
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| Figura 1: Formato do Tanque , segundo o enunciado. |
Considerando $x$ a medida dos lados da base do hexágono e $h$ a altura do tanque, cada lateral apresenta medidas de $x$ por $h$.
O hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros congruentes de lado $x$.
A área do triângulo equitátero é dado pela fórmula:
$A_{\Delta }=\frac{x^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}$
Então a área do hexágono, $A_{H}$, é dado pela relação:
$A_{H}=6\cdot A_{\Delta }=6\cdot \frac{x^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}$
$A_{H}=\frac{3\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}}{2}$
A o valor todal das seis áreas das laterais, $A_{L}$, do tanque é obtida pela relação:
$A_{L}=6\cdot \left ( x\cdot h \right )$
O custo para construir a base do tanque é $20\cdot A_{H}$ e o custo para construir a lateral é $10\cdot A_{L}$
O custo total, $C_{T}$, do tanque é
$C_{T} = 20\cdot A_{H}+10\cdot A_{L}$
$C_{T} = 20\cdot\left ( \frac{3\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}}{2} \right )+10\cdot \left ( 6\cdot \left ( x\cdot h \right ) \right )$
$C_{T}\left ( x \right ) = 30\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}+60\cdot \left ( x\cdot h \right )$
Para deixar $C_{T}$ em função de $X$, devemos elimir $h$ tuilisando para isso o dado do enunciado referente ao volume de 64 m3
$V_{tanque}=A_{base}\cdot h$
$V_{tanque}=\frac{3\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3} }{2}\cdot h$
$h=\frac{128}{3\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}}$
Substituindo $h$ em $C_{T}\left ( x \right )$:
$C_{T}\left ( x \right ) = 30\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}+60\cdot \left ( x\cdot \left (\frac{128}{3\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}} \right ) \right )$
$C_{T}\left ( x \right ) = 30\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot x}$
Sendo $x>0$.
Calculando o custo mínimo devemos derivar $C_{T}\left ( x \right ) $.
$\frac{d}{dx}C_{T}\left ( x \right ) = 60\cdot x\cdot \sqrt{3}-\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot x^{2}}$
Considerando $\frac{d}{dx}C_{T}\left ( x \right )=0$ e encontrando a raize obtemos:
$60\cdot x\cdot \sqrt{3}-\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot x^{2}}=0$
$\frac{180\cdot x^{3}\cdot \sqrt{3}-2560\cdot \sqrt{3}}{x^{2}}=0$
$180\cdot x^{3}\cdot \sqrt{3}-2560\cdot \sqrt{3}=0$
$x=\frac{4\cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{9}}=\frac{4\cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{9}}\cdot \frac{\sqrt[3]{9^{2}}}{\sqrt[3]{9^{2}}}=\frac{4\cdot \sqrt[3]{6}}{3}$
A $\sqrt[3]{6}$ esté entre a $\sqrt[3]{1}=1$ e a $\sqrt[3]{8}=2$, sendo 6 mais próximo de 8 ,consideremos $\sqrt[3]{6}\cong 2$ , logo:
$x=\frac{4\cdot \sqrt[3]{6}}{3}\cong \frac{4\cdot 2}{3}\cong \frac{8}{3}\cong 2,67$
Considerando um valor antes e depois de $x=2,67$, e substiuindo em $\frac{d}{dx}C_{T}\left ( x \right )$. Neste caso consideremos 2 e 3:
$\frac{d}{dx}C_{T}\left ( 2 \right ) = 60\cdot 2\cdot \sqrt{3}-\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot 2^{2}} =120\cdot \sqrt{3}-\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{12} =120\cdot \sqrt{3}-\frac{640\cdot \sqrt{3}}{3} =-\frac{280\cdot \sqrt{3}}{3}$
$ \frac{d}{dx}C_{T}\left ( 3 \right ) = 60\cdot 3\cdot \sqrt{3}-\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot 3^{2}} =180\cdot \sqrt{3}-\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{27} =\frac{2300\cdot \sqrt{3}}{27}$
Logo a função está decrescendo na direção de $x=2$ para $x=2,67$ e a função está crescendo de $x=2,67$ para $x=3$ caracterizando $x=2,67$ como sendo um ponto de mínimo.
Substiruindo $x=\frac{8}{3}$ em $C_{T}\left ( x \right ) = 30\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot x}$:
$C_{T}\left ( \frac{8}{3} \right ) = 30\cdot \left (\frac{8}{3} \right )^{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot \left (\frac{8}{3} \right )}=\frac{640\cdot \sqrt{3}}{3}+\frac{960\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{1600\cdot \sqrt{3}}{3}\cong \frac{1600\cdot 1,73}{3}\cong 922,67$
O valor mais aproximado é da alternativa (C).
Observe quando se substiruindo $x=2$ e $x=3$ em $C_{T}\left ( x \right ) = 30\cdot x^{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{2560}{x\cdot \sqrt{3}}$, obtemos:
$C_{T}\left ( 2 \right ) = 30\cdot 2^{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot 2}\cong 946,85$
$C_{T}\left ( 3 \right ) = 30\cdot 3^{2}\cdot \sqrt{3}+\frac{2560\cdot \sqrt{3}}{3\cdot 3}\cong 960,33$
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| Figura 2: Gráfico de $C_{T}\left(x \right)$. |
Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!
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