Os grandes problemas matemáticos de Hilbert

Em 1900, David Hilbert proferiu uma palestra no Congresso Internacional de Matemáticos em Paris, na qual listou 23 dos mais importantes problemas em matemática, entretanto não incluiu o último teorema de Fermat, mas mencionou-o em sua introdução. 

Quando um matemático notável determina uma lista do que julga serem alguns dos grandes problemas, outros matemáticos prestam atenção.

Os problemas não estariam na lista se não fossem importantes, e difíceis. Desde então, solucionar um dos problemas de Hilbert tem sido uma boa maneira de se receber condecorações matemáticas. 

Muitos desses problemas são técnicos, puramente abstratos e sem uso prático para a população em geral, entretanto são de estrema importância para gerar tecnologia para melhorias para a humanidade.

1. Hipótese do continuum: Existe algum número cardinal infinito estritamente entre as cardinalidades dos números inteiros e reais? Solucionado por Paul Cohen em 1963 - a resposta depende de quais axiomas são usados para a teoria estabelecida.
2. Consistência lógica da aritmética: Provar que os axiomas padrões da aritmética nunca podem levar a uma contradição. Solucionado por Kurt Gödel em 1931: impossível com os axiomas usuais para a teoria estabelecida.
3. Igualdade de volumes de tetraedros: Se dois tetraedros têm o mesmo volume, é possível sempre cortar um deles em infinitos pedaços poligonais e remonta-los de modo a formar o outro? Solucionado em 1901 por Max Dehn, e a resposta é negativa.
4. Linha reta como a menor distância entre dois pontos: Formular axiomas para a geometria em termos da definição acima de “linha reta” e investigar as implicações. Amplo demais para ter solução definitiva, porém muito trabalho foi feito.

   

   David Hilbert
   1.862 + 81 = 1.943

5. Grupos de Lie sem assumir diferenciabilidade: Questão técnica na teoria dos grupos de transformações. Em uma interpretação, solucionado por Andrew Gleason na década de 1950. Em outra, por Hidehiko Yamabe.
6. Axiomas para a física: Desenvolver um sistema rigoroso de axiomas para áreas matemáticas da física, tais como probabilidade e mecânica. Andrei Kolmogorov estabeleceu axiomas para a probabilidade em 1933.
7. Números irracionais e transcendentais: Provar que certos números são irracionais ou transcendentais. Solucionado por Aleksandr Gelfond e Theodor Schneider em 1934.
8. Hipótese de Riemann: Provar que todos os zeros não triviais da função zeta de Riemann encontram-se sobre a linha crítica. Ainda sem solução.
9. Leis de reciprocidade em campos numéricos: Generalizar a lei clássica da reciprocidade quadrática, sobre quadrados em algum módulo, para potências mais elevadas. Parcialmente solucionado.
10. Determinar quando uma equação diofantina tem soluções: Achar um algoritmo que, quando alimentado com uma equação polinomial em muitas variáveis, determine se existem quaisquer soluções em números inteiros. Provado impossível por Yuri Matiyasevich em 1970.
11. Formas quadráticas com números algébricos como coeficientes: Assuntos técnicos sobre a solução de equações diofantinas em muitas variáveis. Parcialmente solucionado.
12. Teorema de Kronecker sobre campos abelianos: Questões técnicas generalizando um teorema de Kronecker. Ainda não resolvido.
13. Resolver equações de sétimo grau usando funções especiais: Provar que a equação geral de sétimo grau não pode ser resolvida usando funções de duas variáveis. Uma interpretação de Andrei Kolmogorov e Vladimir Arnold refutou a afirmação.
14. Finitude de sistemas completos de funções: Estender um teorema de Hilbert sobre invariantes algébricos a todos os grupos de transformações. Provado falso por Masayoshi Nagata em 1959.
15. Cálculo enumerativo de Schubert: Hermann Schubert encontrou um método não rigoroso para contar Várias configurações geométricas. Tornar o método rigoroso. Ainda sem solução completa.
16. Topologia de curvas e superfícies: Quantos componentes interligados pode ter uma curva algébrica de determinado grau? Quantos ciclos periódicos distintos pode ter uma equação diferencial algébrica de determinado grau? Progresso limitado.
17. Expressar formas definidas por quadrados: Se uma função racional sempre assume valores não negativos, deverá ela ser uma soma de quadrados? Solucionado por Emil Artin, D. W. Dubois e Albrecht Pfister. Verdadeiro para números reais, falso em alguns outros sistemas numéricos.
18. Ladrilhamento do espaço com poliedros: Questões gerais sobre preencher o espaço com poliedros congruentes. Menciona também a conjectura de Kepler, agora provada.
19. Analiticidade de soluções em cálculo de variações: O cálculo de variações responde a perguntas como: “Achar a curva mais curta com as seguintes propriedades.” Se este problema for definido por funções simpáticas, a solução também deve ser simpática? Provado por Ennio de Giorgi, em 1957, e por John Nash.
20. Problemas de valor de fronteira: Compreender as soluções das equações diferenciais da física, dentro de alguma região do espaço, quando propriedades da solução sobre a fronteira dessa região são prescritas. Essencialmente solucionado por inúmeros matemáticos.
21. Existência de equações diferenciais com monodromia dada: Um tipo especial de equação diferencial complexa pode ser entendido em termos de seus pontos singulares e grupo de monodromia. Provar que pode ocorrer qualquer combinação desses dados. Resposta sim ou não, dependendo da interpretação.
22. Uniformização usando funções automórficas: Questão técnica sobre simplificar equações. Solucionada por Paul Koebe logo após 1900.
23. Desenvolvimento do cálculo de variações: Hilbert clamava por novas ideias no cálculo de variações. Muito trabalho foi feito; questão vaga demais para ser considerada resolvida.

Grandes problemas são criativos: ajudam a dar à luz uma nova matemática.

O leitor pode notar que diversos problemas já estão resolvidos, entretanto a quantidade de novos conhecimentos matemáticos obtidos durante este processo tem um valor incalculável para os novos estudantes da matemática.

Fonte:

STEWART, Ian. Os maiores problemas matemáticos de todos os tempos. Rio de Janeiro: Editora Zahar, 2014.

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Não se esqueça que a matemática está em todo lugar! Aprecie!