Questão 19 – Vestibulinho Etec – Centro Paula Souza – 2° Semestre de 2.012

Leia o texto para responder às questões de números 18 e 19.

As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria.

Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu.

(http://maps.google.com.br/ Acesso em: 18.02.2012. Adaptado)

A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa.

Considere que

• a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube;
• o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube;
• o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo;
• o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati;
• o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari;
• o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari;
• a medida do segmento AB é 220 m;
• a medida do segmento BC é 400 m e;
• o triângulo ABC é retângulo em C.

Questão 19

Considere que o trecho DE da rua Vitório Genari é paralelo ao trecho AC da Av. Vitório Baccan. Sabendo que a medida do segmento DE é 120 m, então a medida do trecho CE da Rua Romeu Zerati é, em metros, mais próxima de

(A) 182.

(B) 198.

(C) 200.

(D) 204.

(E) 216.

Solução: (A)

Segundo o enunciando o trecho DE é paralelo ao trecho AC. Temos então dois triângulos ACB e DEB, ambos são triângulos retângulos e compartilham o ângulo B, ou seja, o ângulo ABC é igual ao ângulo DBE, então:

Figura 1: tag (ABC) = tag (DBE).

tag (ABC) = (AC) / (BC)

tag (DBE) = (DE) / (EB)

tag (ABC) = tag (DBE)

(AC) / (BC) = (DE) / (EB)

²²⁰/₄₀₀ = ¹²⁰/_EB → 220 · EB = 120 · 400

220 · EB = 48000

EB = ⁴⁸⁰⁰⁰/₂₂₀ ≈ 218,18

Sabemos que o trecho BC é a soma do trecho CE e do trecho EB:

BC = CE + EB → 400 = CE + 218,18

CE = 400 – 218,18 = 181,82 ≈ 182 m

Este problema é um caso clássico de semelhança de triângulos retângulos:

Figura 2: o triângulo ACB é semelhante ao triângulo DEB.

AC / BC = DE / EB

BC = CE + EB → CE = BC – CE

AC / BC = DE / (BC – CE)

 ²²⁰/₄₀₀ = ¹²⁰/_{(400 – CE)}

220 · (400 – CE) = 120 · 400

220 · 400 – 200 · CE = 120 · 400

88000 – 220 · CE = 48000

88000 – 48000= 220 · CE

40000 = 220 · CE

  

40000/220 = CE

40000/220 = CE

181,8181... = CE

CE ≈ 182 m

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