Questão 01 – F.C.C. – 2.011 – S.M.E. - SP - Professor - Matemática – E.F. II e E.M.

No documento Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem para o ensino fundamental: ciclo II − Matemática, da Secretaria de Educação do Município de São Paulo −DOT, é apresentada a situação seguinte, que propicia diferentes investigações matemáticas.

Para fazer uma “porta” usam-se 5 palitos (figura 1); com 13 palitos podem ser feitas 3 “portas” (figura 2).

Se imaginarmos a fabricação de n “portas”, sendo n um número inteiro positivo, o número de palitos necessário pode ser expresso, em função de n, por uma expressão algébrica. Reduzindo os termos semelhantes da expressão obtém-se

(A) um polinômio de grau 1 cuja soma de coeficientes é 5.

(B) um polinômio de grau 1 cuja soma de coeficientes é 6.

(C) um polinômio de grau 2 cuja soma de coeficientes é 5.

(D) um polinômio de grau 2 cuja soma de coeficientes é 6.

(E) uma expressão algébrica não polinomial.

Solução: (A)

Analisando as figuras podemos notar que partindo da construção da primeira porta são necessários quatros palitos para formar a próxima porta.

Considerando n o número de portas e f (n) a função que gera o número de palitos usados, temos:

f (1) = 5

f (2) = 9 = f (1) + 4

f (3) = 13 = f (2) + 4

Podemos observar que temos uma progressão aritmética (p.a.) cuja razão é 4 e o primeiro termo é 5.

A forma da soma de uma p.a. é a_n = a₁ + (n – 1) ∙ r, então:

f (n) = 5 + (n – 1) ∙ 4 = 5 + 4 ∙ n – 4 = 4 ∙ n + 1

f (n) = 4 ∙ n + 1

Temos então uma equação polinomial do primeiro grau.

A equação polinomial do primeiro grau é da forma a ∙ x + b, onde x é a incógnita e a, b são os coeficientes.

No nosso caso os coeficientes são 4 e 1, logo a soma é igual a 5.

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