Fatorial ou notação fatorial desempenha um papel significativo no estudo sobre
combinações e permutações.
Vamos
primeiro definir o que é um fatorial e como ele é usado. Em “geral, fatoriais
são apenas produtos, e o símbolo usado para indicar um fatorial é o ponto de
exclamação “!”.
Por
exemplo, "cinco fatorial", escrito como 5! é igual a 1 · 2 · 3 · 4 ·
5 = 120.
Nota:
n!
significa o produto de todos os números inteiros positivos menores e igual a n; isto é, n! = 1 · 2 · 3 · ... · n ou como alguns autores preferem n! = n
· ... · 3 · 2 · 1.
Em
regra geral n! = 1 · 2 · 3 · 4 · ...
· (n – 2) · (n – 1) · n, logo podemos
expressar n! como n
· (n – 1)!.
Isso
vai nos ajudar a justificar o valor de 0!.
Embora
seja definido 0! como igual a 1, o exemplo a seguir vai ajudar a justificar
esta definição.
Podemos
aplicar nossa conclusão de que n! = n · (n
– 1)!, para o caso em que n = 1 obtendo:
1! = 1 · (1 – 1) = 1 · 0! = 0
Então
simplificando temos 1 = 0!
Talvez
o leitor não esteja acostumado com este tipo de demonstração, contudo apresento
a você outra maneira de olhar para o 0!: considerando o número de permutações
de um conjunto.
A
permutação de n elementos distintos é
um agrupamento ordenado desses elementos, tal que a diferença entre um
agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos.
Se
n representa o número de elementos de
um conjunto, digamos n = 1, então o
número de permutações, n! = 1! = 1.
Se
n = 2, então o número de permutações
é igual a 2! = 2 · 1 = 2 ou olhando para os arranjos dos elementos do conjunto:
(2, 1), (1, 2).
Se
n = 3, em seguida, o número de
permutações é igual a 3! = 3 · 2 · 1 = 6 ou arranjos dos elementos do conjunto:
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Portanto,
para n = 0, 0! é equivalente ao
número de permutações de um conjunto vazio, que é ordenada de uma única
maneira, de modo 0! = 1.
Fonte: POSAMENTIER,
Alfred S. FARBER, William. GERMAIN-WILLIAMS, Terri L. PARIS, Elaine. THALLER, Bernd.
LEHMANN, Ingmar. 100 commonly asked questions in math class : answers that
promote mathematical understanding, grades 6–12. Corwin a SAGE Company: California
(EUA), 2.013.
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