Na
matemática, podemos dizer que existe um conceito matemático mais perfeito do
que qualquer outro?
A
maioria dos professores de matemática, constantemente, dizem aos seus alunos
que a matemática é perfeita.
Bem,
agora vamos apresentar a perfeição em números, a perfeição como é definida pela
comunidade matemática.
Segundo
a tradição na teoria dos números, no conjunto dos números naturais, temos um conceito
denominado de "número perfeito".
Um
número é definido perfeito quando um número é igual à soma de seus divisores próprios
exceto o próprio número (lembre-se que todo número é divisor que si mesmo).
O
menor número perfeito é o 6, uma vez que 6 = 1 + 2 + 3, que é a soma de todos
os seus divisores próprios.
Abrindo
um parêntese o número 6 é o único numero conhecido que apresenta a característica
que a soma e o produto dos seus divisores próprios são iguais: 6 = 1 + 2 + 3 =
3 · 2 · 1 = 3! Outro fato interessante é: 6 = √ (13 + 23
+ 33) e que 1/1 = 1/2 + 1/3
+ 1/6. Vale lembra que 6 e seu quadrado 36, são números triangulares
... fechando o parêntese.
O
próximo número perfeito é o 28, uma vez que novamente 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
E
o próximo é 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, que é a soma de
todos os divisores próprios de 496.
Estes
quatro primeiros números perfeitos eram conhecidos desde os gregos ... eles são
o 6, o 28, o 496 e o 8128.
Euclides
determinou um teorema generalizando a forma de encontrar um número perfeito. No
seu teorema consta que: se 2k – 1 é um
número primo, então 2k – 1 · (2k – 1) é um
número perfeito.
Então,
sempre que encontrar um valor de k que satisfaz 2k – 1, então podemos determinar (não com 100%
de certeza) um número perfeito.
Não
é todo valor de k que satisfaz as condições do teorema de Euclides, uma vez que
se k não é um número primo, então 2k – 1 é um número composto.
Usando
o método de Euclides para a geração de números perfeitos, temos:
k = 2 → 2k – 1 = 3 → 2k – 1 · (2k – 1) = 6
k = 3 → 2k – 1 = 7 → 2k – 1 · (2k – 1) = 28
k = 5 → 2k – 1 = 31 → 2k – 1 · (2k – 1) = 496
k = 7 → 2k – 1 = 127 → 2k – 1 · (2k – 1) = 8 128
k = 13 → 2k – 1 = 8 191 → 2k – 1 · (2k – 1) = 33 550
336
k = 17 → 2k – 1 = 131 071 → 2k – 1 · (2k – 1) = 8 589 869
056
k = 19 → 2k – 1 = 524 287 → 2k – 1 · (2k – 1) = 137 438
691 328
Para
k = 11 → 2k – 1
= 2 047 = 23 · 89, ou seja, é um número composto.
Observando
podemos notar algumas particularidades dos números perfeitos:
- Um
número perfeito costumam terminar com 6 ou 28 e estes valores são precedidos
por um dígito ímpar.
- Um
número perfeito costuma ser também número triangular, que é um número obtido
pela soma de “n” números naturais
consecutivos, partindo de 1, por exemplo, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + 28 + 29 +
30 + 31.
Para
dar um passo adiante, cada número perfeito após 6 é a soma parcial da série: 13
+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113
+ ···, por exemplo, 28 = 13 + 33 e 496 = 13 +
33 + 53 + 73.
Você
pode desafiar os seus alunos tentar encontrar as somas parciais para os
próximos números perfeitos.
Não
sabemos se existem números perfeitos ímpares, nenhum matemático encontrou ou
conseguiu provar se existe ou não existe um número perfeito impar.
Atualmente
utilizam-se computadores para procurar e encontrar números perfeitos, sim o teorema
de Euclides pode ser aplicado mais facilmente.
Fonte: POSAMENTIER,
Alfred S. Math Wonders: to inspire teachers and students. Association for Supervision and Curriculum Development Alexandria: Virginia
USA, 2.003.
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