Produto de dois Binômios na forma (x ± a) (x ± b)

Apresento neste artigo uma forma mais direta para resolver o produto de dois binômios na forma (xⁿ ± a) · (xⁿ ± b) com n pertencente ao conjunto dos números inteiros, a e b pertencentes ao conjunto dos números reais.

Para quem está começando a estudar o assunto recomendo que inicie este procedimento com a e b pertencentes ao conjunto dos números inteiros e com a prática utilizando amplie para os demais conjuntos numéricos.

Esta orientação é importante por parte do procedimento é realizado por meio de cálculo mental, sendo que alguns leitores (assim como eu) apresentam certa dificuldade em realizar cálculos sem lápis e papel. Outra orientação é estar familiarizado com as propriedades das potências.

  

Iniciaremos o estudo com um exemplo ilustrativo: seja o produto dos binômios (x + 2) · (x + 3), a forma tradicional de resolução é aplicar a propriedade da distributiva, então:

(x + 2) · (x + 3) = x² + 3·x + 2·x + 6 = x² + 5·x + 6

O procedimento que proponho para realizar este produto segue três passos, que devem ser realizados mentalmente:

1°-) realize o produto dos primeiros termos dos binômios: x · x = x². Temos então:

(x + 2) · (x + 3) = x²;

2°-) realize a soma aritmética dos segundos termos dos binômios: 2 + 3 = + 5. Acrescente a incógnita (ou variável) e o expoente é a metade do expoente da incógnita obtida no passo 1° (então x², o esponte é 2 que dividido por 2 é  1). Temos então:

(x + 2) · (x + 3) = x² + 5·x;

3°-) realize o produto dos segundos termos dos binômios: 2 · 3 = + 6. Temos então:

(x + 2) · (x + 3) = x² + 5·x + 6

Outros exemplos:

(i) (x – 3) · (x – 4)

1°-) x · x = x² → (x – 3) · (x – 4) = x²;

2°-) – 3 – 4 = – 7 →  – 7·x → (x – 3) · (x – 4) = x² – 7·x;

3°-) (– 3) · (– 4) = 12 →  (x – 3) · (x – 4) = x² – 7·x + 12.

(ii) (x + 6) · (x – 4)

1°-) x · x = x² → (x + 6) · (x – 4) = x²;

2°-) + 6 – 4 = + 2 →  + 2·x → (x + 6) · (x – 4) = x² + 2·x

3°-) (+ 6) · (– 4) = – 24 →  (x – 3) · (x – 4) = x² + 2·x – 24.

(iii) (a² + 5) · (a² – 9)

1°-) a² · a² = x⁴ → (a² + 5) · (a² – 9) = a⁴;

2°-) + 5 – 9 = – 4 →  – 4·a² (lembre que o expoente obtido no passo 1° é 4 que dividido por 2 é 2) → (a² + 5) · (a² – 9) = a⁴ – 4·a² ;

3°-) (+ 5) · (– 9) = – 45 →  (x – 3) · (x – 4) =(a² + 5) · (a² – 9) = a⁴ – 4·a² – 45.

(iv) (a^x+1 – 6) · (a^x+1 – 5)

1°-) a^x+1  · a^x+1   = a^2·(x+1) → (a^x+1 – 6) · (a^x+1 – 5) = a^2·(x+1);

2°-) – 6 – 5 = – 11 →  – 11·a^2·(x+1) [lembre que o expoente obtido no passo 1° é 2·(x+1)  que dividido por 2 é (x + 1)] → (a^x+1 – 6) · (a^x+1 – 5) = a^2·(x+1) – 11· a^2·(x+1);

3°-) (– 6) · (– 5) = 30 → (a^x+1 – 6) · (a^x+1 – 5) = a^2·(x+1) – 11·a^2·(x+1) + 30.

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Podemos expandir a ideia para produtos do tipo (x³·y³ + 5) · (x³·y³ – 9), visto que x³·y³ = (x·y)³, observe:

1°-) (x³·y³) · (x³·y³) = x⁶·y⁶ → (x³·y³ + 5) · (x³·y³ – 9) = x⁶·y⁶;

2°-) + 5 – 9 = – 4 → – 4·x³·y³ [lembre que o expoente obtido em cada incógnita no passo 1° é 6  que dividido por 2 é 3] → (x³·y³ + 5) · (x³·y³ – 9) = x⁶·y⁶ – 4·x³·y³;

3°-) (+ 5) · (– 9) = – 45 → (x³·y³ + 5) · (x³·y³ – 9) = x⁶·y⁶ – 4·x³·y³ – 45.