Provando que dois segmentos desiguais são iguais!!!

Seja ABC um determinado triângulo e tracemos um segmento de reta PQ qualquer paralelo ao segmento de reta AB (vide Figura 1).

Figura 1: Construção Inicial.

O triângulo ABC é semelhante ao triângulo APQ, pois sabemos que quando traçamos um segmento de reta paralelo a um dos lados de um triângulo e que intersecta os outros dois lados, forma-se um triângulo semelhante ao original.

Desta forma temos: 

AB / PQ = AC / PC 

Em triângulos semelhantes os lados homólogos, por definição, são proporcionais. Então: 

AB · PC = AC · PQ

Multiplicando ambos os membros por AB – PQ: 

AB · PC · (AB – PQ) = AC · PQ · (AB – PQ) 

AB² · PC – AB · PC · PQ = AC · PQ · AB – PQ² · AC 

AB² · PC – AB · PC · PQ = AC · PQ · AB – PQ² · AC 

Somando-se AB · PC · PQ em ambos os membros da igualdade temos: 

AB² · PC = AC · PQ · AB – PQ² · AC + AB · PC · PQ 

Subtraindo-se AC · PQ · AB em ambos os membros da igualdade temos: 

AB² · PC – AC · PQ · AB = AB · PC · PQ – PQ² · AC 

Decompondo em fatores: 

AB · (AB · PC – AC · PQ) = PQ · (AB · PC – PQ · AC)

Dividindo ambos os termos por (AB · PC – PQ · AC): 

AB = PQ

Quod Erat Demonstrandum 

*** 

Esta demonstração é talvez bastante convincente ... a Figura 1 é tão simples que não pode advir erro algum, e a argumentação lógica é clara e direta.

Mas na realidade a nossa velha conhecida divisão por zero aparece para assombrar os cálculos.

Fonte: NORTHROP, Eugene P. Curiosidades da Matemática. Livros Pelicanos CP 18. Lisboa: Editora Ulisséia, 19??.