A respeito do conjunto dos números reais, é verdade que
(A) nem todo número racional pode ser expresso por meio de uma fração.
(B) se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional.
(C) o número 1/43 não é racional, pois sua representação decimal é infinita e não periódica.
(D) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
(E) se a regularidade observada na parte decimal do número 1,14114111411114... for mantida, então esse número é irracional.
Solução: (E)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
A questão envolve conceito do conjunto de números reais, mais precisamente nas diferenças dos subconjuntos dos números racionais e dos números irracionais.
2° – Estabelecimento de um Plano
Analisar cada alternativa.
3° – Execução do Plano
(A) nem todo número racional pode ser expresso por meio de uma fração → Incorreto.
A própria definição de número racional diz que todo número racional pode ser expresso na forma de uma fração onde o numerador e o denominador são números inteiros.
(B) se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional → Incorreto.
Se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional ocorre apenas nos casos das dízimas periódicas.
(C) o número 1/43 não é racional, pois sua representação decimal é infinita e não periódica → Incorreto.
1/43 = 0,023255813953488372093023255813953488372093... Observe que temos um período 023255813953488372093 e que é um período longo que pode confundir a primeira vista.
Na prática toda fração irredutível que tiver um número primo diferente de 2 e 5 como denominador gera uma dízima periódica.
(D) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional → Incorreto.
Basta observar que √3 e √3 / 2 são números irracionais e que o produto destes números é 3/2, ou seja um número racional.
Então nem sempre o produto de dois números irracionais é um número irracional.
(E) se a regularidade observada na parte decimal do número 1,14114111411114... for mantida, então esse número é irracional → Correto.
Observe que o fato de ser mantida a regularidade 14, 114, 1114, 11114, 111114 , esta regularidade não caracteriza uma dízima periódica.
Na dizima periódica a partir de certo ponto temos uma repetição constante de um número ou grupo de números do qual temos certeza que esta repetição é infinita. Então este número não pode ser representado por uma fração, logo é um número irracional.
4° – Avaliação
A questão avalia os conhecimentos dos candidatos em relação aos conjunto de números racionais e irracionais que formam o conjunto dos números reais.
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Dica de Leitura
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