O professor de Matemática apresentou a seus alunos o problema:
Suponha que em uma folha de papel estejam marcados três pontos não coincidentes e não colineares. É possível, com um compasso, construir uma circunferência que passe por esses três pontos? Explique.
Analise as respostas das alunas Rita, Renata, Carol, Marta e Fernanda.
Rita: acho que sempre é possível construir uma circunferência que passe por três pontos nessas condições, e essa circunferência é única.
Carol: acho que sempre é possível construir duas circunferências que passem pelos três pontos.
Marta: acho que sempre é possível construir infinitas circunferências que passem pelos três pontos, dependendo de onde localizo o centro.
Renata: acho que sempre é possível construir uma circunferência que passe apenas por dois dos três pontos, mas pelos três, nem sempre.
Fernanda: acho que é possível construir uma circunferência que passe pelos três pontos apenas se a distância de A até B for igual à distância de B até C.
A aluna que respondeu corretamente foi
(A) Rita.
(B) Renata.
(C) Carol.
(D) Marta.
(E) Fernanda.
Solução: (A)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Nesta questão temos que avaliar as respostas de cinco alunas ao problema proposto pelo professor de matemática.
O problema envolve uma construção geométrica: uma circunferência por três pontos. Nesta construção são dados três pontos não coincidentes e não colineares e temos que determinar um ponto, o centro da circunferência, que é equidistante aos três pontos.
Consideremos três pontos não coincidentes e não colineares: ponto A, ponto B e ponto C. Construímos um segmento AB, um segmento BC e um segmento AC. Construímos as mediatrizes destes segmentos. Observe que estas mediatrizes tem um ponto em comum.
Consideremos este ponto como ponto O. Observe que o ponto O está a mesma distancia do ponto A, do ponto B e do ponto C, pois é uma característica do da reta mediatriz.
Então o ponto O é o centro de uma única circunferência visto que esta três retas tem apenas um ponto em comum. No applet do GeoGebra abaixo o leitor pode mover o ponto A, o ponto B ou o ponto C e observar o comportamento do ponto O e da circunferência.
2° – Estabelecimento de um Plano
Baseado na analise acima determinar qual das alunas obteve uma resposta correta, ou parcialmente correta, visto que nenhuma das alunas justificou a resposta de forma completa.
3° – Execução do Plano
Rita: acho que sempre é possível construir uma circunferência que passe por três pontos nessas condições, e essa circunferência é única → Correta.
Carol: acho que sempre é possível construir duas circunferências que passem pelos três pontos → Incorreta.
Marta: acho que sempre é possível construir infinitas circunferências que passem pelos três pontos, dependendo de onde localizo o centro → Incorreta.
Carol e Marta responderam de forma incorreta, pois podemos traçar apenas uma circunferência que passe pelos três pontos, visto que podemos determinar um único centro, que é um ponto que está a mesma distância dos três pontos dados.
Renata: acho que sempre é possível construir uma circunferência que passe apenas por dois dos três pontos, mas pelos três, nem sempre → Incorreta.
Podemos determinar um circunferência que passe por dois pontos, mas podemos determinar uma única circunferência que passe por três pontos.
Fernanda: acho que é possível construir uma circunferência que passe pelos três pontos apenas se a distância de A até B for igual à distância de B até C → Incorreta.
A distância entre os pontos não interfere na possibilidade de obtenção desta circunferência.
4° – Avaliação
Outra forma de analisar o problema oferecido pelo professor é que se três pontos não coincidentes e não colineares formam um triângulo e sabemos que o podemos determinar um ponto, o circuncentro, do qual podemos traçar uma circunferência que circunscrita o triângulo, então os vértices do triângulo são pontos de uma circunferência.
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