A professora de Matemática apresentou a seus alunos os quadriláteros a seguir:
Em seguida, pediu que os alunos analisassem as características desses quadriláteros e identificassem os paralelogramos. Clara, Bia, Ana e Lu apresentaram suas respostas e argumentos:
Clara: Acho que o único paralelogramo é a figura X, pois seus lados opostos são paralelos e os ângulos não são retos.
Bia: Todos os quatro quadriláteros são paralelogramos, pois são quadriláteros que têm os lados opostos paralelos entre si.
Ana: São paralelogramos apenas os quadriláteros X e W porque não têm ângulos retos.
Lu: O paralelogramo só pode ser o quadrilátero X, pois o Y é um retângulo, o Z é um quadrado e o W, um losango.
Júlia: o único quadrilátero que não é paralelogramo é o Z, pois ele é um quadrado.
As respostas e os argumentos corretos foram os de
(A) Clara.
(B) Bia.
(C) Ana.
(D) Lu.
(E) Júlia.
Solução: (B)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° – Compreensão do Problema
Inicialmente observamos que Júlia foi convocada a participar do enunciado de última hora: “...identificassem os paralelogramos. Clara, Bia, Ana e Lu apresentaram suas respostas e argumentos”.
Segundo Dolce e Pompeo (p.100, 1997):
Definição de Paralelogramo: “um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos”.
Definição de Retângulo: “um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes”.
Definição de Losango: “um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes”.
Definição de Quadrado: “um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro lados congruentes e os quatro ângulos congruentes”.
Analisando estas definições podemos concluir que o quadrado é um caso particular de retângulo e losango simultaneamente.
Analisando as propriedades de um paralelogramo, segundo Dolce e Pompeo (p.103, 1.997):
(i) em todo paralelogramo dois ângulos quaisquer são congruentes; todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos congruentes é paralelogramo → então todo retângulo é paralelogramo.
(ii) em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes; todo quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é paralelogramo → então todo losango é paralelogramo.
Desta forma concluímos todas as figuras dos quadriláteros
2° – Estabelecimento de um Plano
Analisar a conclusão de cada aluna:
3° – Execução do Plano
Clara: Acho que o único paralelogramo é a figura X, pois seus lados opostos são paralelos e os ângulos não são retos → Incorreta.
Bia: Todos os quatro quadriláteros são paralelogramos, pois são quadriláteros que têm os lados opostos paralelos entre si → Correta.
Ana: São paralelogramos apenas os quadriláteros X e W porque não têm ângulos retos → Incorreta.
Lu: O paralelogramo só pode ser o quadrilátero X, pois o Y é um retângulo, o Z é um quadrado e o W, um losango → Incorreta.
Júlia: o único quadrilátero que não é paralelogramo é o Z, pois ele é um quadrado → Incorreta.
4° – Avaliação
Questão envolvendo propriedades e definições de quadriláteros na geometria plana.
Fonte: DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Niciolau. Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 9: Geometria Plana. 7º edição. São Paulo: Editora Atual, 1.997.
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